2015届二项分布与超几何分布二..docVIP

2015届二项分布与超几何分布练习题二 15．已知在(x2－)n的展开式中，第9项为常数项，求： (1)n的值；(2)展开式中x5的系数； (3)含x的整数次幂的项的个数．解：二项展开式的通项Tr＋1＝C(x2)n－r(－)r ＝(－1)r()n－rCx2n－r. (1)因为第9项为常数项，即当r＝8时，2n－r＝0， 解得n＝10. (2)令2n－r＝5，得r＝(2n－5)＝6， 所以x5的系数为(－1)6()4C＝. (3)要使2n－r，即为整数，只需r为偶数，由于r＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项． ，， ，； —————3分 ，，，．——4分 所以，X和Y的分布列分别为 X 0 1 2 3 P Y 0 1 2 3 P ——————6分 （Ⅱ）可计算出EX = ，EY = ； ————8分 DX = ，DY = ————10分 由于EX = EY，DX DY，所以，甲会发挥得更好． ————12分 17.如图，已知四棱锥P－ABCD，侧面PAD为边长 等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠BDA＝60°. （Ⅰ）证明：∠PBC＝90°； （Ⅱ）若PB＝3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． (1)取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB， ∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB?平面POB， ∴BC⊥PB，即∠PBC＝90°. …………………………5分 (2)如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，由PO＝BO＝，PB＝3，得∠POB＝120°，∴∠POz＝30°，∴P(0，－，)，则＝(－1，，0)，＝(－1,0,0)，＝(0，，－)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)， 则，取z＝，则n＝(0,1，)，[来源:GkStK.Com] 设直线AB与平面PBC所成的角为θ，则 sinθ＝|cos〈，n〉|＝. …………12分 18.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 （I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示： 5 6 7 8 P 0．4 a b 0．1 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值； （II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望． （III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可 购买性？说明理由． 注：（1）产品的“性价比”=； （2）“性价比”大的产品更具可购买性． 本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。 解：（I）因为 又由X1的概率分布列得 由 （II）由已知得，样本的频率分布表如下： 3 4 5 6 7 8 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下： 3 4 5 6 7 8 P 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 所以 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下： 因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为 据此，乙厂的产品更具可购买性。 19.如图，在三棱锥中，，，，平面平面。 （Ⅰ）求直线与平面所成角