(圆的有关概念和性质.docVIP

专题九 圆 第一节 圆的有关概念和性质 一【知识梳理】 1.圆的有关概念和性质 (1) 圆的有关概念 ①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径． ②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧． ③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． （2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心． ②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． ③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径． ④三角形的内心和外心 ?：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆． ?：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． ?：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 2.与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数． （2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半． （3）圆心角与圆周角的关系： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角． 3.正多边形和圆 （1）通过等分圆画正多边形。（等分圆心角；懂得正三、六； 正四、八边形的特殊画法） （2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、 半径、中心角、边心距； （3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等 于正n边形内角的一半，∠BOP=，BP等于正多边形的边长的一半。 一般地，关于正多边形计算的问题都转化为直角三角形的问题。（“转化”是解决问题的一种重要的思想方法，化繁为简、化难为易、化抽象为形象、化未知为已知…如：用“换元法”解方程、解方程中的 ‘消元降次’思想、把多边性的内角和转化为三角形来研究、借助图表分析应用题中的数量关系等） 方法技巧： 1.分类讨论解决圆的问题，防止漏解。如一条弦所对的圆周角有两种，所以同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补。圆内两条平行的弦与圆心的位置关系有两种。 2.圆中常作的辅助线：作半径、弦心距、直径所对的圆周角、经过切点作半径、过圆心作切线的垂线、两圆相交时的公共弦、连心线等。 二【课前练习】 1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（ ） A．60○ B．45○ C．30○ D．15○ 2.如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工 具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心． 3.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、 E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（ ） A．180° B．15 0° C．135° D．120° 4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50○ ，那么∠ACB等于（ ） A．40○ B．50○ C．65○ D．130○ 5.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦 AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（ ） A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 6.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（ ） A．50° B．80° C．100° D．130° 7.如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60○ ，AC＝3，则△ABC的周长是____________. 8⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8， 求 AB与CD之间的距离