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动态规划算法 王 璐 中原工学院计算机学院 2009-12 算法思想 规划 (Planning) 规划是比较全面的长远的发展计划----现代汉语词典 动态规划 (Dynamic Planning) 通过多阶段决策逐步找出问题的最终解，并且每个阶段的决策都是需要全面考虑各种不同的情况分别进行决策。这样，当各阶段采取决策后，会不断决策出新的数据，直到找到最优解。 每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义。 所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程称为动态规划。 动态规划主要针对最优化问题 数塔问题 给定一个数塔，如下所示。在此数塔中，从顶部出发，在每一节点可以选择向左走还是向右走，一直走到底层。请找出一条路径，使路径上的数值和最大。（59） 9 12 15 10 6 8 2 18 9 5 19 7 10 4 16 数塔问题 贪心可行？分治可行？不行！ 有哪些信誉好的足球投注网站可行？可行，但费时！ 动态规划 自底向上逐层分阶段决策 与贪心不同，不是唯一的决策，而要综合考虑。 第1次决策，针对第4层 如果最优路径经过2，则从第4层到第5层应该经过19，则第4+第5层的最大路径为2+19=21 如果最优路径经过18，则从第4层到第5层应该经过10，则第4+第5层的最大路径为18+10=28 …… 这样实际上将5阶数塔变为4阶数塔问题了。 逐层向上递推，最后得到问题的最优解 动态规划算法思想总结 DP在每个阶段的决策，并不是象贪心一样的唯一决策，而是一组局部决策结果。 每个阶段都使问题规模变小，更接近最优解。 子问题与原问题类型相同 子问题的最优解是原问题最优解的一部分。 直到最后一步，问题的规模变为1（自底向上的过程），就找到了问题的最优解。 可以将DP特点归纳为：全面分阶段地解决问题，或者带决策的多阶段多方位的递推算法。 数塔问题实现 存储数塔 数据结构data[i,j] 程序流程图及代码实现 d[i,j]=data[i,j] i=n(最下层) d[i,j]=max(d[i+1,j],d[i+1,j+1])+data[i,j] i=1..n-1,j=1..n 复杂度分析 动态规划算法的一般解题思路（1） 通过数塔问题我们可以看到DP的一般解题思路 分阶段 就是问题求解过程的不同阶段或问题的规模，所以我们要知道该问题是要：求什么what to be solved？如果分阶段的话，从一个阶段到另一个阶段是什么在变化？即状态，也就是最优解的形式。 在每个状态综合考虑 考虑在这个阶段的所有状态变化。怎么变化的呢？需要列出状态变化的方程，可以方便计算。即不同阶段的递推关系，也即不同规模的问题与子问题的递推关系。 根据递推关系计算 自上而下的递归/自下而上的递推填表 动态规划算法的一般解题思路（2） 找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 递归地定义最优值。 以自底向上的方式计算出最优值。 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。 0-1背包问题 定义 给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？ 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。 应用 结合5-12地震事件给出了一个非常实际的问题。问题描述如下： 在灾区，多数人已经受伤，缺水，少食物，精神处在崩溃的边缘。很多人的生存条件仅能维持几天，急需帐篷、衣物、食品和医疗器材、药品等物资。14日上午，中央军委委员、空军司令员许其亮组织召开空军首长办公会，将空军下一步救灾重点确定为抢救伤员、空投、空运。空军各部队都派出多架运输机，准备向灾区空运急需物品。现在已知5种打包过的急需物品，分别是帐篷、衣物、食品、医疗器材和药品，其重量分别为C1, C2, C3,C4 ,C5，灾区需求的迫切程度分别为V1,V2,V3,V4,V5。一架运输机的载重量为W, 现在怎样选择装上飞机的物品，使得灾区的需求得到最大满足？ 求解 穷举 贪心 例：c=105, n=3, w=[100,10,10],v=[20,15,15]，则按价值最大贪心选择的结果是：20。 所以，按照贪心法难以取得最优解。 动态规划 按递推方式分析最优子结构 原问题：求(x1,x2,x3,x4,…