[15小学奥数六年级竞赛必考章节精讲共36讲·小升初必备-第15讲15讲计数综合1.docVIP

15讲 计数综合1 内容概述 将关键的已知数据看作变量，得到一类结构相同的计数问题，通过建立这些 典型问题 1．一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多? 【分析与解】 一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长 同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方(如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面10部分． 第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的3×4=12个部分．而第三个长方4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分． 所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26． 2．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以3级台阶．从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法? 【分析与解】 我们知道最后一步可以迈1级台阶、2级台阶或3级台阶，也1、2或3级台阶直接迈入最后一级台阶． 即最后一级台阶的走法等于倒数第1、2和3级台阶的走法和．而倒数第l级2、3和4级台阶的走法和，…… 如果将1、2、3……级台阶的走法依次排成一个数列，那么从第4项开始，每3项的和． 有1，2，3级台阶的走法有1，2，4种走法，所以4，5，6，7，8，9，10级台阶的走7，13，24，44，81，149，274种走法． 3．一个圆上有12A1，A，A，…，A，A．以它们为顶点连三角形，使每? 【分析与解】我们采用递推的方法． I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法． Ⅱ如果圆上有6个点，除A点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法． Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A所在的三角形．此时，其余的6个点可能分 ①A1所在三角形的一个边所对的弧上； ②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在 在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对 如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法； 如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法． 共有12种连法． Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑所在三9个点的分布有三种可能： ①9个点都在同一段弧上： ②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上 ③每三个点在所在三角形的一条边对应的弧上．3． 共有12×3+3×6+1＝55种． 12个点时，满足题意的连法有55种 4．现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿36，24，16，12．问：这种变速车一共有多少挡不同的车速? 【分析与解】算出全部的传动比，并列成表： 这里有4对传动比是相同的：1，，2，3，将重复的传动比去掉，剩下8个不8挡不同的车速．．分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个? 分子的取值范围是从1到5． 当分子为1时，分母可从2到59，共有58个真分数，它们当然都是不可约 由于2，3，5都是质数，因此当分子分别为2，3，5时，分母必须而且只需适合 ①分母大于分子且小于60． ⑦分母不是分子的倍数． 易知：当分子为2时，适合条件的分母有29个； 当分子为3时，适合条件的分母有38个： 当分子为5时，适合条件的分母有44个； 最后来看分子为4的情形，与分子为2基本相同，分母不能为偶数，此外分母3．所以共有28(=29—1)个． 总之，符合要求的分数共有58+29+38+44+28197个． 6．一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996?如果沿上? 【分析与解】方法一：如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点… 不难看出，当正方形内部有个点时，可以剪成22个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成21996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀． 方法二：我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献360度角，所以当内部有个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形． 2+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条6n+6—4=6n+2条边，知道每条边2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n+2)÷23n+1刀． 本题中=1996，所以可剪成3994个三角形