可压缩边界层的PSE..docVIP

可压缩边界层的抛物化稳定性方程 及其在某些问题中的应用 张永明 2008年10月 摘要 推导出可压缩边界层的抛物化稳定性方程（PSE），验证了PSE方法的可靠性，再将其应用于非平行效应、二次失稳和转捩预测三个具体问题中。发现了边界层非平行性对中性曲线的影响主要集中在临界雷诺数处；验证了二次失稳机制的存在，得到了二次失稳问题中三维亚谐波的放大率随其展向波数和二维基本波幅值的变化关系；得到了准确的转捩起始位置，并再现了转捩中breakdown过程的机理。PSE方法是研究有关边界层内扰动演化的多种问题的有效工具。 1 引言 PSE是研究基本流中扰动演化的比较新的一种方法，此外常用的方法还有线性稳定定性理论（LST）和直接数值模拟（DNS）。与另外二者相比，PSE的优点在于同时具备以下特点：可以考虑基本流的非平行性，可以用于非线性问题，计算量不大。因此，从提出PSE至今不长的时间里，PSE方法得到了充分的发展，并应用到多个问题的研究中。 Herbert和Bertolotti（1987）首先提出了抛物化稳定性方程。他们研究的是不可压边界层的线性PSE，这是一种比较简单的情况。Bertolotti等（1992）用线性PSE在大雷诺数处得到的小扰动演化与线性稳定性理论和直接数值模拟的结果一致，验证了线性PSE计算的可靠性，如图1-1所示。Bertolotti等（1992）用PSE研究不可压边界层的非平行性对其稳定性的影响，得到的中性曲线比用LST得到的更符合Schubauer和Skramstad（1943，1947）、Ross等（1970）、Strazisar等（1977）和Kachanov等（1977）的实验结果，也与Gaster（1974）、于秀阳和周恒（1986）用另外一种方法得到的计算结果一致，如图1-2所示。Bertolotti等（1992）提出了不可压边界层的非线性PSE，所得扰动演化结果与直接数值模拟所得一致，如图1-3所示，用计算的方法验证了非线性PSE的可靠性。而前者计算花费的时间比后者少很多，这显示出PSE在研究某些非线性问题时的优势：准确且快速。Joslin等（1992）和Esfahanian等（2001）也做了同样的验证。Malik等（1999）将非线性PSE计算所得与实验测量结果对比，发现二者一致，又从实验上验证了其可靠性。在此基础之上，Malik等（1999）开始用PSE作为可靠的工具来研究不可压边界层的稳定性和转捩问题。Herbert（1997）对不可压缩流PSE的研究进行了总结。 图1-1 不同方法得到的大雷诺数处小扰动增长率。实线为Bertolotti等（1992）的线性PSE结果，虚线为LST结果，圆形标记为DNS结果。 图1-2 不同方法得到的中性曲线。实线为Bertolotti等（1992）的线性PSE结果，虚线为LST结果，圆形标记为Gaster（1974）的结果。 图1-3 Bertolotti等（1992）的非线性PSE计算与空间模式DNS的对比，包括平均流修正，一阶扰动，二阶扰动和三阶扰动。实线为NPSE结果，方形标记为DNS结果。 相对不可压边界层，可压缩边界层的PSE更为复杂，其结果也较少。但由于航空航天技术发展的需求，这方面的研究逐渐多了起来。Bertolotti和Herbert（1991），Bertolotti（1991）提出了可压缩平板边界层的线性PSE，并发现用线性PSE在大雷诺数处得到的小扰动演化与线性稳定性理论的结果一致，验证了线性PSE计算的可靠性。可压缩边界层的非线性PSE研究工作比较少，目前见到的工作主要来自美国国家航空航天局2 可压缩边界层PSE的控制方程和数值求解方法 这一部分先介绍可压缩边界层的抛物化稳定性方程的推导过程，以及求解方程所用的数值方法。这些是前人做过的工作，但都是PSE方法的基础，所以有必要做详细的介绍。首先推导出线性和非线性PSE的控制方程（见2.1）；然后说明数值计算中所用的基本流和入口条件（见2.2）；最后阐述计算网格和差分格式（见2.3）。 2.1 控制方程 推导抛物化稳定性方程需经四个步骤：（1）先由有量纲的完全的N-S方程出发，利用特征量得到无量纲的方程，（2）再推导出完全的扰动方程，（3）然后针对扰动的特点推出稳定性方程，（4）最后利用边界层厚度增长缓慢的性质将其抛物化而得到抛物化稳定性方程。下面作具体的介绍。 用上标表示有量纲的量，在三维笛卡尔坐标系下用x，y，z表示流向、法向和展向，则有量纲的完全的N-S方程为 （2.1-1） 其中是速度矢量，是时间，是密度，是压力，是温度，是定压比热，是热传导系数，是第一动力粘性系数，是第二动力粘性系数，为普适气体常数。为粘性耗散函数，表示为 ，