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求极限方法举例 小结 二、两个重要极限 小结 三、无穷小的比较 等价无穷小代换 小结 例3 解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换,而不会改变原式的极限. 不能滥用等价无穷小代换. 切记,只可对函数的因子作等价无穷小代换,对于代数和中各无穷小不能分别代换. 注意 例4 解 例5 解 解 错 例6 解 * §2、3 极限的运算和两个重要极限 一、极限的四则运算 二、两个重要极限 三、无穷小量的比较 说明:记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程,实际上,下面的定理对x→X0及x→∞都成立。我们只证明x→X0的情形。 定理 证 由无穷小运算法则,得 一、极限的四则运算 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 有界, 例1 解 小结: 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 解 例3 (消去零因子法) 例4 解 (无穷小因子分出法) 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 例5 解 先变形再求极限. 例6 解 例7 解 左右极限存在且相等, 意义: 例8 解 1、极限的四则运算法则及其推论; 2、极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 3、复合函数的极限运算法则 (1) 注意: 例 解 (2) 定义 模式 例4 解 例5 解 1.两个准则 2.两个重要极限 迫敛准则; 单调有界准则 . 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 定义: 例如, 例1 解 证 必要性 充分性 意义:用等价无穷小可给出函数的近似表达式. 例如, 常用等价无穷小: 见课本357页 例2 解 定理2(等价无穷小代换定理) 证 *
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