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第十六讲 相似三角形(二) 　　上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明，本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用． 　　1 如图2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC． 　　 　　B引BE∥AC，且与AD的延长线交于E．因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因为BE∥AC，所以 ∠2=∠3． 　　1=∠3，AB=BE．显然 △BDE∽△CDA， 　　 BE∶AC=BD∶DC， 　　 AB∶AC=BD∶DC． 　　 　　(如内错角相等、同位角相等)，将等角“转移”到合适的位置，形成相似三角形是一种常用的方法． 　　2 如图 2-77所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB． 　　MEF∽△MAB，从而EF∥AB． 　　B引BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．因为AE是∠BAC的平分线，所以 ∠BAE=∠CAE． 　　BG∥AC，所以 ∠CAE=∠G，∠BAE=∠G， 　　 BA=BG． 　　BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以 ∠ABF=∠HBF， 　　从而 AB∶BH=AF∶FH． 　　M是BC边的中点，且BH∥AC，易知ABHC是平行四边形，从而 BH=AC， 　　 AB∶AC=AF∶FH． 　　AE是△ABC中∠BAC的平分线，所以 　　ABAC=BE∶EC， 　　 AF∶FH=BE∶EC， 　　即 　　(AM+MF)(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式变为 AM∶MB=FM∶ME． 　　MEF与△MAB中，∠EMF=∠AMB，所以 △MEF∽△MAB 　　()．所以 ∠ABM=∠FEM， 　　 EF∥AB． 　　3 如图2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4． 　　 　　 　 　　AB，BC，CA及l=AB＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决． 　　ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题． 　　AB至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．下面证明，△ADE∽△ABC． 　　A=α，∠B=2α，∠C=4α，则 ∠A+∠B+∠C=7α=180°． 　　ACB是等腰三角形ACE的外角，所以 ∠ACE=180°-4α＝3α， 　　CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α． 　　从而 ∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE． 　　又由作图 AE=AC，AE=BD， 　　 BE=BD， 　　BDE是等腰三角形，所以 ∠D＝∠BED＝α＝∠CAB， 　　 △ABC∽△DAE， 　　所以 　　4 如图2-79所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB， BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH. 　　QH⊥DH，只要证明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，从而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ与△DHC应该相似． 　　Rt△PBC中，因为BH⊥PC，所以 ∠PBC=∠PHB=90°， 　　PBH=∠PCB． 　　Rt△PBC∽Rt△BHC，所以 　 　　BP=BQ，BC=DC，所以 　　ABC=∠BCD=90°，所以 ∠HBQ=∠HCD， 　　 △HBQ∽△HCD，∠BHQ=∠DHC， ∠BHQ＋∠QHC=∠DHC＋∠QHC． 　　又因为 ∠BHQ＋∠QHC=90°， 　　 ∠QHD=∠QHC＋DHC=90°， 　　 DH⊥HQ． 　　5 如图2-80所示．P，Q分别是Rt△ABC两直角边AB，AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM．求证： PB2＋QC2=PM2＋QM2． 　　MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并连接PQ，则 PM2＋QM2=PQ2=AP2＋AQ2． 　　于是求证式等价于 PB2+QC2=PA2+QA2， ① 　　等价于 PB2-PA2=QA2-QC2． ② 　　M是BC中点，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分别是AB，AC的中点，即有 AD=BD，AE=CE， 　　②等价于 (AD＋PD)2-(AD-PD)2 　　=(AEEQ)2-(AE-EQ)2， ③ 　　③等价于 AD·PD=AE·EQ． ④ 　　ADME是矩形，所以 AD=ME，AE=MD， 　　故④等价于 ME·PD=MD·EQ． ⑤ 　　MPD∽△MEQ即可． 　　下面我们来证明这一点． 　　ADME为矩形，所以 ∠DME=90°=∠P