显式差分和隐式差分-1.pptVIP

回顾 有限差分法基础 差分格式 差分方程 边界条件的处理 相容性、稳定性和收敛性 回顾 1. 有限差分法的相容性、稳定性和收敛性 相容性：针对差分格式而言，在时间步长和空间步长趋近于零的情况下， 如果差分格式的截断误差（差分格式与原有偏微分方程之差）的模趋近于零， 则该差分格式与原偏微分方程是相容的，或称该差分方程与原偏微分方程 具有相容性。 稳定性（stability）：如果偏微分方程的严格解析解有界，差分格式给出的解也有界，称该差分格式是稳定的；如果差分格式给出的解是无界的，则称该差分格式是不稳定的。 稳定性反映了差分格式在计算中控制误差传递的能力 收敛性（convergence）：如果当时间和空间步长趋于零时，FDE解趋于PDE解，称该差分格式是收敛的。 如果 则称该差分格式是收敛的。 收敛性描述的是当差分网格无限细化时，差分方程的解是否具有无限逼近偏微分方程的解的能力 Lax等价定理（Lax equivalence theorem）：如果逼近一个给定问题的差分格式是相容的，那么该差分格式的收敛性与稳定性互为充分必要条件。 相容性是比较容易满足的。在此基础上，如果满足了稳定性条件，差分格式的收敛性就自动满足。 2.5 有限差分法实例 for j=2:n-1 for i=2:m-1; a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i+1)=1; a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i-1)=1; a((j-1)*m+i,j*m+i)=1; a((j-1)*m+i,(j-2)*m+i)=1; a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i)=-4; end end 内部节点： 边界节点： A矩阵非零系数减少， 同时引入第一类边界， 方程右端项B向量出现 非零元素。 局部节点编号 总体节点编号 组建A和B矩阵，求解线性方程组得到X %Matlab 2D clear; clc; figure(color,w); a=zeros(135,135); for i=1:135 a(i,i)=1; end; for i=1:7 a(15*i+1,15*i+2)=-0.25; a(15*i+1,15*i+16)=-0.25; a(15*i+1,15*i-14)=-0.25; end for i=1:7 a(15*i+15,15*i+14)=-0.25; a(15*i+15,15*i+30)=-0.25; a(15*i+15,15*i)=-0.25; End a(1,2)=-0.25; a(1,16)=-0.25; a(121,122)=-0.25; a(121,106)=-0.25; a(135,134)=-0.25; a(135,120)=-0.25; a(15,14)=-0.25; a(15,30)=-0.25; for i=2:14 a(i,i-1)=-0.25; a(i,i+1)=-0.25; a(i,i+15)=-0.25; end for i=122:134 a(i,i-1)=-0.25; a(i,i+1)=-0.25; a(i,i-15)=-0.25; end for i=1:7 for j=2:14; a(15*i+j,15*i+j-1)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j+1)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j+15)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j-15)=-0.25; end end b=a^(-1); c=zeros(135,1); for i=121:135 c(i,1)=25;end d=b*c; s=zeros(11,17); for i=2:16 s(11,i)=100; end for i=1:9 for j=1:15; s(i+1,j+1)=d(15*(i-1)+j,1); end end subplot(1,2,1),mesh(s) axis([0,17,0,11,0,100]) subplot(1,2,2),contour(s,32) 2.5 应用实例 南加州一次未来大地震的强地面运动的数值模拟 盆地效应 Cui, 2013 Cui, 2013 Cui, 2013 Cui, 2013 总结： 1、有限差分方法给出的数值解的精度取决于所用的差分形式（向 前、向后、中心）。 2、偏微分方程的显式有限差分格式通常是有条件稳定的，为了保 证得到精确的数值解，最关键的是需要根据稳定性条件选取正确的 空间和时间步长。 显式与隐式差分格式 主讲人：胡才博 中国科学院大学地球科学学院