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弧、弦、圆心角 复习 2、圆的性质你都知道哪些？ O 1、垂径定理及垂径定理的推论的具体内容。 　　圆是特殊的中心对称图形，圆绕圆心旋转任意角度都与原来重合。 圆的旋转不变性 · 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. O B A ∠AOB为圆心角 圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB。 ⌒ 圆心角的度数定理：圆心角的度数等于所对弧的度数。 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角, 弧, 弦 疑问：这三个量之间会有什么关系呢？ · O A B 探究 · O A B A′ B′ A′ B′ 二、 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ · O A B A1 · O1 B1 · 思考：如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1 O1 B1，请问上述结论还成立吗？为什么? ∵ ⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1 O1 B1 ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 . ⌒ ⌒ 圆心角定理（等对等定理） ●O A B ┓ D A′ B′ D′ ┏ 在同圆或等圆中，由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′ 可推出 ②AB=A′B′ ⌒　 在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等, 所对的弦的弦心距相等. 思考： 1、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得什么结论？ 2、在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？ ●O A B ┓ D A′ B′ D′ ┏ 2.在同圆(或等圆) 中，如果弧相等,那么所对的圆心角_____、所对的弦__ __. 相等 相等 结论: 相等 1.在同圆(或等圆) 中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等、所对的弦相等 3.在同圆(或等圆) 中，如果弦相等,那么所对的圆心角_____、所对的弧_____. 相等 以上三句话如没有在同圆或等圆中，这个结论还会成立吗？ (等对等定理) O A B 下面的说法正确吗?为什么? 如图,因为 根据圆心角、弧、弦、 弦心距的关系定理可知： ⌒ ⌒ 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. O α A B A′ B ′ α (1) 圆心角相等 (2) 弧相等 (3) 弦相等 (4) 弦心距相等 知一推三 同圆或等圆 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么_______， _______． （2）如果 ，那么_______， _______． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____， _____． （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ · C A B D E F O ⌒ ⌒ AB=CD 例1 如图1，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°,　　　　 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。 ⌒ ⌒ O B C A 猜想： 在同圆或等圆中，若弦心距不相等，那么弦相等吗？弦心距和弦有怎样的大小关系？ 不等对不等定理： 在同圆或等圆中，若弦心距不相等，那么弦也不相等；弦心距较长的弦反而短。 .O A B C D N M 结论：过圆内一点（不是圆心）的所有弦中，垂直于这点与圆心连线的弦最短。 变式：已知⊙O的半径为5cm，P为⊙O内一点，且OP=3cm.则过点P且长为整数的弦有 条。 练习1：⊙O中任意一点P，AB是过P的弦，AB⊥OP，CD是过P的任意一条弦，比较AB、CD。 练习2：已知⊙O的半径为5cm，P为⊙O内一点，且OP=3cm.则过点P的最长弦和最短弦的长分别为 O A B C D P 1、如图，△ABC交⊙O点E、F、D、G、N、M，且EF=GD=MN，∠A=46°。 求∠BOC的度数。 补充练习： O A B C D E F M N G O B C A E D 2、⊙O中AB=AC，∠BAC外角平分线交⊙O 与E，求证：AB=DE 已知平面直角坐标中，圆P的圆心P坐标为（4,3）且过原点，直线y=kx-2k+4在圆中截得的最短弦长是多少？ O x y P A（2,4） 小小提升： 你有什么收获？ 作业 必做：①整理本节知识点 ②教材89页第2、3题　 教材90页第11题 * * * * * *