偏微分一维热传导问题..docVIP

偏微分大作业 一维热传导方程问题 ——运用隐式格式求解数值解 目录 问题描述 3 1 解析解——分离变量法 3 2 数值解——隐式格式 5 3 证明隐式格式的相容性与稳定性 5 4 数值解——分析与Matlab实现 6 5 数值解与解析解的比较 9 6 随时间变化的细杆上的温度分布情况 11 7稳定后细杆上的温度分布情况 12 参考文献 13 附录 14 有限长杆的一维热传导问题 问题描述 一根单位长度的细杆放入100℃的沸水中，当细杆的温度达到100℃时取出。假设细杆四周绝热；在时间t=0时，细杆两端浸入0℃的冰水中。一维热传导方程：，现在令，从而可知本题：。现在要求细杆温度分布：。 1 解析解——分离变量法 热传导偏微分方程： (1) 其中， 首先令： (2) 将(2)式带入(1)式得： 于是可得： 可以得到两个微分方程： 先求解空间项： 当时， 由于 可知:由于解的收敛性， 则此时是平庸解。 当时， 则此时是平庸解。 当时， ，其中。 所以，， 因为 所以，， 则， 初始条件： 最终， ， 2 数值解——隐式格式 目前，研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。这里使用隐式格式。 利用，关于t进行向前差商： ；关于x进行二阶中心差：； 代入偏微分方程可以得到隐式差分格式： （1） 3 证明隐式格式的相容性与稳定性 （1）相容性 代入隐式格式得： (2) 将（2）与原微分方程相减，得到截断误差： 所以此隐式格式与原微分方程相容。 （2）稳定性 令网格比为，则可以将（1）式改写得到： （3） 首先令： （4） 将（4）代入（3）式，根据欧拉公式化简得： （5） 故得放大因子是： 所以根据Fourier方法，隐式格式恒稳定。 4 数值解——分析与Matlab实现 边值与初值离散化 将边值与初值离散化，与式（3）联立得差分线性方程组： ， ， 再将方程组改写成的形式： 本题的边界条件均为零。所以可以将上式改写。 Matlab的实现 杆长1米，时间2秒。 设计空间步长h=0.1和时间步长t=0.01，网格比是。 从而得到划分的空间网格点数是M1+1，时间网格点数是M2+1。先设初始的温度矩阵U(M2+1,M1+1)。再将边界条件和初始条件编写到表示温度分布的矩阵中。具体代码可见最后附录。 编写矩阵A 核心代码：对角线：A(i,i) = 1+2r 对角线的右方和下方：A(i,i+1) = -r; A(i+1,i) = -r; 下面就要运用进行迭代。 当k=1时，A*U(2,j)=U(1,j) 当k=2时，A*U(3,j)=U(2,j) 当k=3时，A*U(4,j)=U(3,j) 以此迭代下去直到k=M2。就可以得到整个温度随时间和空间的分布矩阵U。 数值解画图，如图1(a)和图1(b)所示。 图1(a) 数值解的温度分布图 现在将着色平稳过渡。 图1(b) 着色平稳过渡的数值解的温度分布图 5 数值解与解析解的比较 首先，我们需要将解析解离散化，解析解中有一项，当n越来越大时，会快速趋于0，故我们可以取n=8000。现在来证明可行性，在matlab里的工作空间运算。 将解析解的温度分布画出来，数值解画图，如图2所示。