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第五章 优 化 模 型 优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中经常会遇到的问题类型之一，比如设计师要在满足强度要求等条件下选择材料、形状、尺寸等，使结构总重量最轻；工厂定购生产资料时要考虑订货方案使储存等费用最低；商品经营者要根据生产成本和市场需求制定商品价格以使利润最高；调度人员要在满足物资供需要求和装载条件限制安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低；投资者要选择一些股票、债券等投资，使总获利最大，而风险又最小等等。在很多情况下，我们会凭经验解决面临的优化问题，这样做看似有效，风险也较小，但决策时常常会融入太多决策者的主观臆断，因而无法保证结果的最优性。那么，是否一定要做大量的试验来探索最优方案呢？须知这样往往会花费大量的人力和物力，得到的结果仍可能受到先验的影响，落入事先圈定的试验范围。 最优化方法是数学学科中的一个应用性很强的分支，它包含的内容十分广泛，有数学规划（如线性规划、非线性规划、二次规划、目标规划、多目标规划等）、库存论、排队论、博弈论、组合优化（离散优化）、随机规划等等。这些内容都和实际问题密切相关，但由于涉及面太广，要比较深入地掌握这些最优化方法绝非一朝一夕就能办到。 根据变量取值范围的不同，优化问题有连续模型和离散模型之别。本章将选择一些连续优化问题的实例，以说明建立优化模型的一般方法和求其最优解的一般步骤。在下一章中，我们还将介绍一些较为典型的离散优化模型，并指出研究离散优化模型时经常会遇到的某些困难。 § 5.1 线性规划问题 线性规划（Linear Programming, 简记LP）是数学规划的一个重要组成部分。自从1947年G·B·Dantzig提出求解线性规划的单纯形法以来，线性规划在理论上日趋成熟，在应用上日趋广泛，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 （线性规划的实例与定义） 例5.1 某厂生产甲、乙两种产品，每单位产品销售后的利润分别为4千元与3千元。生产甲产品需用A、B两种机器加工，每单位产品的加工时间分别为 2小时和1小时；生产乙产品需用A、B、C三种机器加工，每单位产品的加工时间为每台机器各一小时。若每天可用于加工这两种产品的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应当生产甲、乙两种产品各多少，才能使总利润最大？ 例5.1的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2台乙机床时总利润最大，则 x1、x2应满足 max 4x1 + 3x2 s.t 2x1 + x2≤10 x1 + x2≤8 (5.1) x2≤7 x1 , x2≥0 （5.1）式中4x1 + 3x2表示生产x1单位甲产品和x2单位乙产品的总利润，被称为问题的目标函数。当希望使目标函数最大时，记为max；反之，当希望使目标函数最小时，记为min。（5.1）中的几个不等式是问题的约束条件，记为S.t（Subject to的简写，意为“受约束于”）。由于（5.1）式中的目标函数与约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 （线性规划的标准形式） 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件可以是不等式也可以是等式，变量可以有非负要求也可以没有（称没有非负约束的变量为自由变量）。为了避免这种由于形式多样性而带来的不便，规定线性规划的标准形式为 min S.t ，i=1,…,m （5.2） xj≥0, j=1,…,n 或更简洁地，利用矩阵与向量记为 min z = CT x S.t Ax = b （5.3） x≥0 其中C和x为n维列向量，b为m维列向量，b≥0，A为m×n矩阵，mn且rank(A)=m。 如果根据实际问题建立起来的线性规划问题并非标准形式，可以将它如下化为标准形式： （1）若目标函数为max z = CT x，可将它化为min －z = －CT x （2）若第i个约束为ai1x1+…+ainxn≤bi，可增加一个松驰变量yi，将不等式化为ai1x1+…+ainxn+yi = bi，且yi≥0。若第i个约束为ai1x1+…+ainxn≥bi，可引入剩余量yi，将不等式化为ai1x1+…+ainxn－ yi = bi，且yi≥0。 （3）若xi为自变量，则可令，其中、≥0 例如，例5.1并非标准形式，其标准形式为 min ― 4x1―3x2 s.t 2x1 + x2 + x3 = 10 x1 + x2 + x4 = 8