[高三数学不等式的性质、不等式证明的几种常见方法.docVIP

高 三 数 学---------不等式复习 【教学内容】 不等式的性质、不等式证明的几种常见方法 比较法、综合法、分析法、换元法和放缩法等。 【教学目标】 不等式的性质是不等式证明和求解不等式的理论基础和前提条件。比较法是证明不等式的最基本的方法，它思维清晰，可操作性强，适用范围广泛，在不等式证明中常常采用。比较法通常分两类：第一、作差与零比较，作差后常需要把多项式因式分解，再由各因式的符号来确定差与零的大小；第二、作商与1比较，但要注意除式的符号，作商后常需把分子分母因式分解后约分再与1进行大小比较。 综合法常常用到如下公式：（1）≥2ab(a,b∈R) (2)≥ (3)≥2(a.b0) (4)≥ (5)≥ 利用综合法证明不等式时常需要进行灵活的恒等变形,创造条件去运用公式。 对于不能直接分析出如何用综合法来证明的不等式，我们可以采用分析法，执果索因，从要证明的结论出发，去追逆它要成立的条件，得到要证明的结论就是已知条件或已有的公式，从而说明所证不等式成立。另外，换元法、放缩法等对较复杂的不等式的证明也很有帮助。 【知识讲解】 设12a0,试比较A=1+a2与B=的大小。 解：A-B= = ∵恒成立. 由条件知0,∴a-10,∴A-B0 即AB. 例2、设a.b∈R+,求证aabb≥abba 分析:这里所证的不等式的左、右两边均正，且都为乘积的形式，所以可以考虑作商与1比较，转化为运用指数函数的性质来证明。 证明： 10当a≥b时,≥1,a-b≥0，由指数函数的性质可知≥1. 20当ab时,,a-b0,同理可得≥1, 综上所述,≥1即aabb≥abba. 例3、设a0且a≠1,mn0,求证:. 分析：这类不等式显然不解直接用综合法来证明，因此仍考虑用比较法，而所证不等式左、右均为几个因式的代数和的形式，因此常采用作差与0比较的方法。 证明： = 10当0a1时,∵mn0,∴aman而,∴(*)式0 20当a1时, ∵mn0,∴aman , ∴(*)式0 ∴当a0且 a≠1时.(*)式恒正,即. 例4、设a.b.c∈R+,求证:≤ 分析：初看上去似乎与基本不等式有关，但若直接运用基本不等式，仅能得到所证不等式两端均非负，仍然不能证到原不等式成立。若注意到把两端括号去掉，则出现了相同项a+b，因此可以考虑用比较法来证明。 证明一、 = ∵a.b.c∈R+,∴≥ ∴≥0,即所证不等式成立. 证明二、∵ =令 ∵a.b.c ∈R+，∴ x,y∈R+ =(y2+xy+x2)(y-x)+3x2(x-y)=(y-x)(x2+xy-2x2) =(y-x)(y-x)(y+2x)=(y-x)2(y+2x)≥0 并且仅当x=y即 c2=ab时“=”成立。 ∴≤. 说明:证法一运用了基本不等式,关键是对进行恒等变形,创造条件运用基本不等式;证法二采用了换元法,关键是如何假设变量才解使差式化简。 例5、当n2时，求证：logn(n-1).logn(n+1)1 证明：∵n2. ∴logn(n-1)0.logn(n+1)0 ∴logn(n-1).log(n+1) = ∴原不等式成立. 说明:该题所证的结论即为n2时,logn-1nlogn(n+1),此结论应记住,它对我们今后的学习也是很有帮助的,由它可以得到一连串不等式:log2324log2425log2526lup2627……。 例6、设a.b.c∈R+,求证:≥. 分析:如果把因式a+b+c乘到括号内,则所证不等式左边较复杂,很难看出用什么方法去证明,若我们注意分析该不等式左边的特征,它与三个变元的均值不等式的左边很类似,再联想到结论:当x.y.z∈R+时, ≥9就不难得到证明了. 证明:∵a.b.c∈R+ ∴≥ 而2(a+b+c)=［( a+b)+(b+c)+(c+a)］≥ ∴≥9 即≥. 说明:掌握了此类不等式的证明方法后,与此类似的不等式,如10若a.b.c∈R+ 且a+b+c=1求证: ≥ 20若a.b.c∈R+, 则≥等等就不难证明了. 例7、已知：a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,n∈N求证:a1x1+a2x2+…+anxn≤1 证明:∵a12+x12≥2a1x1 , a22+x22≥2a2x2……an2+xn2≥2anxn,相加得, (a12+a22+…an2)+(x12+