[二中高三数学第一轮复习数列的综合应用教学案.docVIP

教案 数列的综合应用 一、课前检测 1．猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,……的第n个式子为 。 答案： 2．用数学归纳法证明,在验证成立时,左边所得的项为( C ) A.1 B.1+ C. D. 二、知识梳理 1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。 ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为.其中第年产量为，且过年后总产量为： ⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款： =. 注意：“分期付款”、“森林木材”型应用问题 ⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. ⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为： (等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足： (等比数列问题). ⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率. 2.将实际问题转化为数列问题时应注意： （1）分清是等差数列还是等比数列； （2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n. 3.数列与其他知识的综合也是常考的题型，如：数列与函数、不等式、解析几何知识相互联系和渗透，都是常见的题型。 4.强化转化思想、方程思想的应用. 三、典型例题分析 题型1 以等差数列为模型的问题 例1 由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000 t，第二天运送1100 t，以后每天都比前一天多运送100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，连续运送15天，总共运送21300 t，求在第几天达到运送食品的最大量. 剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题. 解：设在第n天达到运送食品的最大量. 则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列. an=1000+（n－1）·100=100n+900. 其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列. 依题意，得 1000n+×100+（100n+800）（15－n）+×（－100）=21300（1≤n≤15）. 整理化简得n2－31n+198=0. 解得n=9或22（不合题意，舍去）. 答：在第9天达到运送食品的最大量. 变式训练1 数列{an}中，a1＝6，且an－an－1＝＋n＋1(n∈N*，n≥2)，则这个数列的通项an＝________. 答案：(n＋1)(n＋2) 解：由已知等式得nan＝(n＋1)an－1＋n(n＋1)(n∈N*，n≥2)，则－＝1，所以数列{}是以＝3为首项，1为公差的等差数列，即＝n＋2，则an＝(n＋1)(n＋2)．n＝1时，此式也成立． 小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。 题型2 以等比数列为模型的实际问题 例2 （2005年春季上海，20）某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2005年底和2006年底的住房面积； （2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） 剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题. 解:（1）2005年底的住房面积为 1200（1+5%）－20=1240（万平方米）， 2006年底的住房面积为 1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（万平方米）， ∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米. （2）2024年底的住房面积为 1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－…－20（1+5%）－20 =1200（1+5%）20－20× ≈2522.64（万平方米）， ∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.