[直线、平面垂直的判定及其性质.docVIP

（一）直线与平面垂直的判定 知识梳理 1．直线与平面垂直 2．判定定理 3．直线和平面所成的角 (1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°_；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是 ． 例题精讲 【题型一、线面垂直的判定】 【例1】如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF. 【方法技巧】线面垂直的判定定理的应用 (1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤： ①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线； ③根据判定定理得出结论． (2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧： 证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法． 【题型二、】 【例2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值． (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角． 【方法技巧】求线面角的方法： (1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． (2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 【题型三、线面垂直的综合应用】 【例3】 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点． (1)求证：EF⊥平面PAB； (2)设AB＝ BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值． 【方法技巧】 (1)中还可取AB中点Q，连结EQ，FQ，证明AB⊥平面EFQ，则AB⊥EF，加上EF⊥PB， 则EF⊥平面PAB.(2)中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角． 巩固训练 1．若直线a与平面α内的两条直线垂直，则直线a与平面α的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．斜交或在平面内 D．以上均有可能 2．如果一条直线垂直于一个平面内的： ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 则能保证该直线与平面垂直(　　) A．①③ B．①② C．②④ D．①④ 3．下列命题中正确的个数是(　　) ①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直． A．0 B．1 C．2 D．3 4．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是(　　) A．(0°，90°) B．[0°，90°] C．(0°，90°] D．[0°，180°] 5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的余弦值大小为________． 6．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD，∠ACB＝∠ACD.求证：BD⊥平面PAC. （二）平面与平面垂直的判定 知识梳理 1．二面角 2．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作 α⊥β . (2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示． (3)判定定理