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用于函数逼近的小波网络研究 1 问题提出 　　小波理论是在最近10年不断发展起来的，其独特的优点使其在信号处理、图像处理、地球物理等许多领域里得到广泛的应用。小波分析中的函数逼近能力是小波理论中最重要的特征之一。神经网络可以作为非线性系统表征、控制以及近似实现的有效工具，它对信息进行分布式存储、并行处理，具有良好的学习和记忆能力，而且有很强的容错性、自适应性等。小波网络是小波分析和神经网络相结合的产物，两者的结合能够弥补各自在函数逼近方面的缺陷，用于非线性函数的逼近能达到最满意的效果。 小波网络用于函数逼近最早是基于小波分解和前馈神经网络提出的，其结构类似于径向基网络。由Sigmoid函数构成的多层前馈神经网络(BP网络)有良好的逼近性能，空间映射能力强，原则上可以无限逼近非线性函数。而Sigmoid函数为全局函数，其支撑集是无穷大的，不满足框架条件，存在严重重叠，所以其逼近函数的表达式并不唯一，而且收敛速度慢。小波理论体系为小波网络的分析和综合提供了可靠的理论基础。小波函数具有对突变函数逐步精细的描述特性，通过作为一致逼近的小波分解来建立起小波变换与神经网络的连接，能够使得函数的逼近效果更好。 2 小波分析及其发展 小波分析的思想可以追溯到本世纪30年代，但真正形成则是在1984年，由法国科学家Grossman和Morlet在进行地震信号分析时提出的，随后进展迅速，1985年Meyer在一维情形下证明了小波函数的存在性，并在理论上做了更深入的研究；此后，Mallat在Burt和Adelson图像分解和重构的金字塔算法启发下，基于多分辨分析的思想，提出了对小波应用起重要作用的Mallat算法，它在小波分析中的地位相当于FFT在经典Fourier分析中的地位。1987年，在法国马赛召开了第一届小波分析国际会议；1990年日本京都的国际数学大会展示了小波理论的深入和发展及其不断扩大的应用领域；我国在小波分析领域的研究起步要晚一些，1992年在武汉大学召开了中法首届小波分析研讨会，使小波分析的研究在国内也逐渐掀起了热潮。 小波分析主要研究函数的表示，即将函数分解为“基本函数”之和，而“基本函数”是由一个小波函数经过伸缩和平移而得到的，这个小波函数具有很好的局部性和光滑性，使得人们通过分解系数刻划函数时，可以分析函数的局部性质和整体性质。小波分析出现之前，人们用Fourier基、Haar基来分解函数。Fourier基具有很好的光滑性，但局部性很差；而Haar基的局部性虽很好，但光滑性很差。小波基却兼有他们两者的优点。在信号分析中，由于小波分析在是时域和频域都有很好的局部特性，因此在数据压缩和边缘检测方面，小波分析是一种非常有效的方法。 小波分析正处于迅速发展之中，从事小波分析的人也越来越多，随着研究的进一步深入，小波分析还将更加广泛和深入地应用在理论数学、应用数学、信号处理、图像处理与分析、语音识别与合成、分形等方面。 3 神经网络发展历史 人工神经网络是指模拟人脑神经系统的结构和功能，运用大量的处理部件，由人工方式构造的网络系统。 神经网络理论突破了传统的、串行处理的数字电子计算机的局限，是一个非线性动力学系统，并以分布式存储和并行协同处理为特色，虽然单个神经元的结构和功能及其简单有限，但是大量的神经元构成的网络系统所实现的行为却是极其丰富多彩的。 神经网络的研究已经有五十多年的历史，但其发展是不平衡的，大致可以分为三个阶段。 1). 初始发展期（20世纪40年代--20世纪60年代） 最早被提出的网络模型是M-P模型，是由美国心理学家McCulloch和数学家Pitts在1943联合提出的。M-P模型能够完成有限的逻辑运算。1944年，心理学家 Hebb 提出了改变神经元连接强度的 Hebb规则[1]，它是其它许多学习规则的基础。它们至今仍在各种神经网络模型中起着重要作用。1957年，计算机科学家Rosenblatt用硬件完成了最早的神经网络模型，即感知器(Perception)，并用来模拟生物的感知和学习能力。 2). 低谷期（20世纪60年--20世纪70年代） 1969年，人工智能之父 Minsky 和 Papert 发表的《感知器(Perception)》一书指出，感知器无科学价值可言，连XOR逻辑分类都做不到，只能做线性划分。由于Minsky在学术界的地位和影响，故其后若干年，神经网络的研究进入低谷期。同时，传统的冯·诺依曼电子数字计算机正处于发展的全盛时期，整个学术界都陶醉于成功的喜悦之中，从而掩盖了新型计算机发展的必然。 尽管如此，在此期间仍然有不少具有真知灼见的学者不断努力，在极端艰难的条件下致力于这一研究，为其发展奠定了理论基础。Boston大学的Kohonen 提出了自组织映