数学分析第1章 函数学分析第1章 函数.docVIP

第一章 函 数 §1 函数的概念 1.1函数的概念 变量之间的相互联系抽象到数学上，就是所谓函数关系。 例1：自由落体运动 定义：设在某一变化过程中有两个变量和，如果对于变量的变化范围内的每一个值，都按某一确定的规律有变量的一个值与之对应（随变化而变化），则称变量是变量的函数，记为 —自变量，—因变量，的变化范围—定义域，的变化范围—值域 注1： 函数 注2： ［］——满足≤≤的所有实数 只是符号，不是实数 注3：确定函数的定义域一般分为两种情况 ①若函数是联系看实际问题来考察的，其定义域应根据实际问题而定。 ②在数学上，往往从具体问题中抽象出来，这时函数的定义域就理解为使函数有意义的自变量的所有数值构成的。 例 注4：函数中的“”是一个符号，代表与之间的对应规律 当时，对应函数或 例12中 常用等代表变量，等代表常数 1.2函数的表示法 （1）公式表示法——用一个数学公式来表达自变量和因变量间的对应关系。 （2）图形表示法——用曲线来表达自变量和因变量间的对应关系。 （3）列表表示法——用表格来表达自变量和因变量间的对应关系。 优缺点： （1） （2） （3） 注1：函数中对应规律的表现形式的各样化。 例5：分段定义的函数 例6：“是不超过的最大整数” 例7：狄里赫勒（Dirichlet）函数 注2：复合函数 对应的传递性：若时应，而对应，则通过，就与建立了对应 ，，则，——中间变量 复合函数的定义域应是使的函数值属于的定义域的那些所组成。 例8：，，则的定义域为， §2 基本初等函数及其图形 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 2.1幂函数，其中表示任何实数 正比 ↓ ↓ ↓ 直线 抛物线 双曲线 逐数图形——主要讨论定义域、值域、对称性、变化趋势等。 例1：讨论函数的图形 注：如果（1.2—2）对任何值（定义域内的，假定定义域关于原点对称）成立。则函数的图形关于坐标原点是对称的，称为奇函数。 例2：讨论函数的图形 注：如果（1.2—4）对任何值（定义域内的，假定定义域关于原点对称）成立。则函数的图形关于轴是对称的，称为偶函数。 注：幂函数，当为偶数（正、负）时，是偶函数 当为奇数（正、负）时，是奇函数 例3：讨论的图形 注：当时，在≥0都有定义且，，过（0，0），（1，1）点，当无限增大时，也无限增大。 当时，在时都有定义，且过（1，1）点，当无限变大时，无限变小，愈小，过点（1，1）前图形愈陡，愈大，过（1，1）前愈平。 2.2指数函数 其中常数 定义域 值域 过（0，1）点 ，当增大且无限增大时，也增大且无限增大。 ，当增大且无限增大时，减小且无限减小。 注：单调函数——随自变量增大，相应的也增大（或减小）的函数，称为增（或减）函数。 ①若对某区间I上的任何两点，总有≤（≥），则称函数。在区间I上为单调增加（或减少）。 ②若等号不成立，则称为严格单调： 2.3对数函数，其中，，定义域，值域，过（1，0）点，若则，对数函数和指数函数互为反函数。 注：①一般来说，从逐数中解出，把表为的函数，得，函数就叫做函数的反函数，通常写为。 ②函数的图形和其反函数的图形关于第一、三象限的分角线是对称的值域、定义域互换。 2.4三角函数 ，，，，， （1）正弦函数 定义域，值域[-1，1]，奇函数，以为周期。 （2）余弦函数 ，，奇函数，以为周期。 （3）正切函数 ，，以为周期。 注：一般来说，如果对某常数，函数满足（1.2—9），则称其为周期函数所做周期（一般是指满足（1.2—9）的最小正数）。 2.5反三角函数 ，，，，， （1）反正弦函数 ， 注：各值函数对于自变量的一个值，由变量对应的值不只一个的函数。 限制≤≤ 反正弦函数的主值勤，记为， （1.2—11） （2）反余弦函数 主值，或 （3）反正切函数 主值或 注：2—6 双曲函数 双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 奇函数，偶函数。 附录三 邻域的概念 为一定点，为任意法定正数 则满足不等式 （1） 即 （2） 记为 几何意义：点到定点的距离小于落在以为中心长为的区间 的领域：以为中点，长为的开区间 表示的邻域中除去以后的所有点。 对应规律 定义域 值域 确定函数 ←函数相等与否 定义域 等价