[第八章平面解析几何8-6抛物线.ppt

重点难点 重点：抛物线定义、几何性质及标准方程 难点：抛物线几何性质及定义的应用 知识归纳 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l　(F?l)的距离 的点的轨迹叫做抛物线． 2．抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示) 误区警示 1．关于抛物线定义 要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线. 2．关于抛物线的标准方程 由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的共同点在于： (1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数． 1．抛物线的焦点弦 若直线l过抛物线的焦点与抛物线相交于两点A、B，则线段AB通常称作抛物线的焦点弦，焦点与抛物线上任一点的连线段，通常称作抛物线的焦半径，涉及焦半径(或焦点弦)的问题，常考虑应用定义求解． 若抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论： ①|AB|＝x1＋x2＋p；　②y1y2＝－p2. 2．关于抛物线的最值问题 (1)A为抛物线弧内一定点，F为焦点，P为抛物线上任一点，求|PA|＋|PF|的最小值问题常用定义转化，由A向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的P点． (2)直线l与抛物线无公共点，求抛物线上的点到l的最小值问题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为二次函数求最值，或设出与l平行且与抛物线相切的直线，转化为两平行直线间的距离，后者更简便． 3．抛物线的标准方程． 由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论． 4．韦达定理的应用． 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，以避免求交点坐标的复杂运算． [例1]　已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为(　　) A．x2＋y2＝1　　　 B．x2－y2＝1 C．y2＝4x D．x＝0 分析：由条件知，动圆圆心C到点(1,0)和直线x＝－1的距离相等，可用直译法求解，也可以用定义法求解．应注意圆锥曲线定义在解题中的应用． (文)抛物线x2＝－8y上一点P到焦点的距离为5，则点P的纵坐标为(　　) A．5 B．－5 C．3 D．－3 解析：抛物线的准线方程为y＝2，且点P到准线距离为5 ，∴yP＝－3. 答案：D 答案：A 点评：解决这类问题一定要抓准各种曲线的基本量及其关系． 设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　) A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x 分析：由直线l经过抛物线的焦点F及点A(8,8)可求l的方程，由l与抛物线方程联立可求得B点坐标(或依据根与系数关系，求得AB中点M的横坐标，进一步即可求得M到准线的距离)，M到准线的距离为 |AB|. 已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有 (　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3| (理)(09·湖北)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1. (1)求证：FM1⊥FN1； (2)记△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面积分别为S1、S2、S3，试判断S22＝4S1S3是否成立，并证明你的结论． 解析：(1)证法一：由抛物线的定义得 |MF|＝|MM1|，|NF|＝|NN1|. ∴∠MFM1＝∠MM1F，∠NFN1＝∠NN1F. 如图，设准线l与x轴的交点为F1， ∵MM1∥NN1∥FF1， ∴∠F1FM1＝∠MM1F，∠F1FN1＝∠NN1F. 而∠F1FM1＋∠MFM1＋∠F1FN1＋∠NFN1＝180°， 即2∠F1FM1＋2∠F1FN1＝180°， ∴∠F1FM1＋∠F1FN1＝90°，即∠M1FN1＝90°， 故FM1⊥FN1. 一、选择题 1．(2010·北京崇文)已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是(　　) A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线 [答案]　A [解析]　P在BM的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|. 又PB⊥l，因而点P到直线l的距离等于P到M的距离，所以点P的轨迹是抛物线． [答案]　A