7年级第02讲 绝值对值.docVIP

第2讲 绝对值 知识方法扫描 1．绝对值的定义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值还是零．即 2．绝对值的几何意义： 在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 3．绝对值的性质： （1）|ab|=|a|·|b|； |an|=|a|n； |a-b|=|b-a| （2）|a|=|b|等价于a=b或a=-b， 即a2=b2 （3）|a-b| 就是数轴上表示数a的与表示数b的两点之间的距离 （4）|a| 是一个非负数。 经典例题解析 例1 （2004年重庆市初中数学竞赛初一试题） 计算= 。 解：原式=（－）+（－）－（－）= 0， 故填0。 例2． （2007年第5届创新杯数学邀请赛初一试题） 已知a,b 互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值等于1，则(a+b)x3+x2-cdx可以取得的那个较大的值是 。 解 因a,b 互为相反数，故a+b=0； 因c,d互为倒数，故cd=1； 于是 原式=x2-x 因x的绝对值等于1，故x=±1， 当x=1时，原式=0；当x=－1时，原式=2。 所以，应填2。 例3 （2000年第15届江苏省初中数学竞赛初一试题） a、b是有理数，如果那么对于结论：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数，其中（ ）。 （A）只有（1）正确 （B）只有（2）正确 （C）（1），（2）都正确 （D）（1），（2）都不正确 解 当a≥b时，有a-b=a+b.于是 b=0, a≥0 当ab时，有-（a-b）=a+b. a=0, b≥0 所以a,b两数中一个为0，另外一个是非负数，所以（1）正确，（2）不正确。应选（A）。 评注：去掉绝对值的符号，是处理绝对值问题的基本方法。这就需要探究绝对值符号内的数的正负，分类讨论，往往是必须的。 例4 （2004.江苏省初中数学竞赛题） 已知且则S的最大值与最小值的差是 。 解 由知x-20, x+20 于是， 得 因为 于是，当|x|=0时，S取最大值4；当|x|=2时，S取最小值3． 其差为4-3=1。故填1。 例5（2007年“创新杯”数学邀请赛初一试题） 设k是自然数，且ka+b=0，则 等于（ ） （A） 3 （B） 2 （C） 3+ （D）2- 解 由得 显然k≠0（否则b=0, 代数式无意义），又k是自然数，于是k0. 所以 (*) 当a0时，(*)变为 当a0时，(*)变为 故原式=3，选(A)． 例6（第14届“迎春杯”数学竞赛试题） 已知(a+b)2+|b+5|=b+5, 且|2a-b-1|=0, 那么ab= . 解 ∵|2a-b-1|=0 ∴2a-b-1=0. ∴b=2a-1. 将b=2a-1代入(a+b)2+|b+5|=b+5, 得 (a+2a-1)2+|2a-1+5|=2a-1+5 即(3a-1)2+|2a+4|=2a+4. (1)当3a-10即 , ∵(3a-1)20, |2a+4|0, 2a+40. ∴(3a-1)2+|2a+4|2a+4, 矛盾： (2)当3a-10即时, ①若2a+4≤0, 则上面等式左边大于0, 右边小于或等于0, 矛盾； ②若2a+40, ∵(3a-1)20, |2a+4|0=2a+4, ∴(3a-1)2+|2a+4|2a+4, 矛盾； (3)当3a-1=0, 即时, 上式成立. ∴ ∴ 例7 （2001年北京市初二数学竞赛试题） 在6张纸片的正面分别写上整数1,2,3,4,5,6, 打乱次序后, 将纸片翻过来, 在它们的反面也随意分别写上1～6这6个整数, 然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值, 得到6个数, 请你证明: 所得的6个数中至少有两个是相同的. 证明：设6张卡片正面写的数是a1，a2，a3 ,a4 ,a5,a6 ,　反面写的数是b1，b2，b3 ,b4, b5, b6 ,　则6张卡片正面写的数与反面写的数的差的绝对值分别为|a1-b1|，|a２-b２|，|a３-b３|，|a４-b４|，|a5-b5|，|a6-b6|．设这6个数两两不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值.于是 |a1-b1|+|a２-b２|+|a３-b３|+|a４-b４|+|a5-b5|+|a6-b6|=0+1+2+3+4+5=15 是个奇数. 另一方面，|ai-bi|与ai-bi（i=1,2,3,4,5,6）的奇偶性相同，所以 |a1-b1|+|a２-b２|+|a３-b