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第一章 函数与极限 第一节 函数 数列的极限（Limits of Sequences） 第三节 无穷小量与无穷大量 极限的运算法则 两个重要极限 函数的连续性 第二节 求导法则 高阶导数 - 14 - x a ? ? a ? ? a ? ? , 邻域 的去心的 点 ? a ) , ( ? a U ? 记作 ? 分段函数 已知函数定义域分成有限个区间，在各个区间上表示对 应规律的数学表达式不一样，则称这样的函数为分段函数。 （函数不是用一个式子表示。）是定义域上的一个函数， 不是多个函数。 注： ? 在不同的范围内用 不同的式子 表示的 一个函数 ，叫分段函数。 ? 定义域分成的 有限个区间 称为分段区间。 ? 分段区间的公共端点称为 分界点 。 ? 分段函数的定义域是各个分段区间的 并集。 ? 计算分段函数的 函数值 时，应该先观察自变量的取 值属于哪个分段区间，然后再用该分段区间上的数 学表达式来计算函数值。 2 、阿基里斯和乌龟赛跑： 阿基里斯速度是乌龟速度的 10 倍；乌龟先跑 公里（ 100 米）。当他追到时 公里，乌龟 前进 公里；当他追到 公里时，乌龟又前 进 公里 ...... ...... 阿基里斯和乌龟之间始终存在 公里，于是 就出现了著名的悖论：善跑英雄永远追不上乌 龟。 10 1 100 1 10 1 100 1 1000 1 n 10 1 三 函数极限的性质 1 唯一性 若函数极限存在 , 则极限唯一 . 类似于数列极限的唯一性（反证法） 2 有界性 类似于数列极限的有界性。 注 函数极限有界是局部有界。 有三种等价的形式： （证略） 1。 （数列的极限） 2。 （函数的极限） 3。 （函数的极限） (2) . ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0 h x f h x f x f h ? ? ? ? ? 导数定义的其它形式 : . ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0 x x x f x f x f x x ? ? ? ? ? x x f x x f x y y x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( lim lim 0 0 0 0 0 即 想一想 : 若上面的极限不存在呢 ? 若极限不存在， ) ( x f 在点 0 x 则称函数 处不可导 . 若极限不存在， ) ( x f 在点 0 x 则称函数 处不可导 . ) ( x f 在点 0 x 则称函数 处不可导 . 0 x 若 , lim 0 ? ? ? ? ? ? x y x 也说函数 ) ( x f 在点 的导数为无穷大 . 0 x 若 , lim 0 ? ? ? ? ? ? x y x 也说函数 ) ( x f 在点 的导数为无穷大 . 若 , lim 0 ? ? ? ? ? ? x y x 也说函数 ) ( x f 在点 的导数为无穷大 . ◆ 2. 右导数 : 单侧导数 1. 左导数 : ; ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0