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圆锥曲线的几何性质（陈阿帆） 一、椭圆的几何性质（以+=1（a﹥b﹥0）为例） 1、⊿ABF2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义 即 2、焦点⊿PF1F2中： （1）S⊿PF1F2= （2）（S⊿PF1F2）max= bc （3）当P在短轴上时，∠F1PF2最大 证明：（1）在中 ∵ ∴ ∴ ∴ （2）（S⊿PF1F2）max = （3 当=0时 有最小值 即∠F1PF2最大 3、 过点F1作⊿PF1F2的∠P的外角平分线的垂线，垂足为M ， 则M 的轨迹是x2+y2=a2 证明：延长交于，连接 由已知有 为中点 ∴ == 所以M的轨迹方程为 4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切 证明：取的中点，连接。令圆的直径，半径为 ∵ = ∴ 圆与圆内切 ∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切 5、任一焦点⊿PF1F2的内切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于R， 则 ∣IR∣：∣IP∣=e 证明：连接由三角形内角角平分线性质有 ∵ ∴ 6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。 证明：令到准线的距离为以为直径的圆的圆心为到准线的距离为。 ∵ ∵ ∵ ∴ ∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离 7、A为椭圆内一定点，P在椭圆上，则： （∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣ （∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣ 证明：连接 ∵ ∵ ∴ ∴ （∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣ （∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣ 8、A 为椭圆内一定点，P是椭圆上的动点，则 （∣PA∣+）min = A到右准线的距离 证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有 ∴（∣PA∣+）min = = A到右准线的距离. 9、焦点⊿PF1F2的旁心在直线 x=±a 上。 证明：令☉I与⊿PF1F2三边所在的直线相切于M、N、A ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即为椭圆顶点。 ∴ 焦点⊿PF1F2的旁心在直线 x=±a 上 10、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于E，K是准线 上另一任意点，连结PK交椭圆于Q，则KF2平分∠EF2Q 证明：令P,Q到准线的距离为 由三角形外角平分线性质定理有KF2平分∠EF2Q 11、 证明：令 1:当的斜率存在时，设直线方程为 ∵ ∴ ∴ = 2: 当的斜率存在时，∴ 12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点， 则（定值） 证明：令 ， 则 ∵ ∵ ，∴ ∴ 13、椭圆的短轴端点为B1、B2，P是椭圆上任一点，连结B1P、B2P分别 交长轴于N、M两点，则有∣OM∣*∣ON∣ =a2 证明： ∴ ∵ 由于、、共线 ∴ ∵ 由于 B1、、N共线 ∴ ∴ ∵ ∴ 14、椭圆的长轴端点为A1、A 2，P是椭圆上任一点， 连结A1P、A2P并延长，交一准线于N、M两点， 则M、N与对应准线的焦点张角为900 证明：令， ∴ ∵ 由于、、共线 ∴ ∵ 由于共线 ∴ ∴∵∴ ∵ ∴ ∴ M、N与对应准线的焦点张角为900 15、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过 该准线对应的焦点。 证明：设 则的方程为即 必过点 16、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。 证明：设，则过点的切线：，直线的法线交轴于直线的法向量为：∵ ∴ 同理 2 ∵ 同理 ∴ ∴ 即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。 二、双曲线的几何性质（均以 为例：） （1）焦点三角形面积： (2)、过作∠F1PF2的内角平行线的重线垂足M的轨迹是 (3)、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与内切，小的圆与外切。 (4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交 (5)、焦点⊿PF1F2的内切圆心横生标为±a即与实轴的切点一定是实轴端点 （6）焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值∠MCN＝2arccos (7)、A为双曲线内一定点P为双曲线上动点=+＝－2a (8)、如图：A为双曲线内一定点，P是双曲线上的动