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新的积分不等式在工程设计中的应用 　　摘要：结合工程实际应用，通过对一类函数积分近似计算本质特征的深入研究，介绍了新的积分不等式及其计算方法，并可确定误差大小。目的在于提高工程设计精度，同时为计算机编程建立重要的数学模型。 　　关键词：工程设计精度；新的积分不等式；数学模型 　　中图分类号：S611文献标识码： A 　　引言 　　结合工程实际应用，重点介绍了使用积分不等式解决定积分的求值问题．根据工程设计中所允许的误差大小确定积分区间等分数目，使用计算机或手工计算器进行数值计算，这样把在理论上称之为求近似值的问题实质上已转换为求精确值［１－2］．同时整理形成了该类函数的近似计算公式，为计算机编程提供重要的数学模型。 　　 　　一、主要结果 　　若函数在闭区间［ｂ，ｘ］上连续，当时，有，，则下列积分不等式成立． 　　 　　 　　（Ⅱ）若在闭区间［ｂ，ｘ］上连续，当时有，则下列不等式成立． 　　 　　 　　证明１）先证式（１）左边．因为 　　 　　选定积分 　　 　　并且ｘ在第一象限，由文献［１－2］得 　　 　　由文献［１－2］，当ｇ（ｘ）＞ｆ（ｘ）时， 　　 　　 将式（１１）代入式（５）并整理得 　　 　　 同理由文献［１－2］得 　　 　　 因为 　　 　　 　　综合上述结论，将式（１２）代入式（１３）整理，从而 　　 　　成立。 　　 ２）再证式（１）右边．因为 　　 　　 由文献［１－2］得 　　 　　 对式（２０）定积分采用分部积分法 　　 设ｕ＝ｘ，ｄｕ＝ｄｘ；ｄｖ＝ｃｏｓｘｄｘ，ｖ＝ｓｉｎｘ．于是 　　 　　同理由文献［１－2］得 　　 　　 因为 　　 　　综合上述结论，将式（２０）代入式（１８）整理，并与式（１８）比较大小，从而 　　 　　成立 　　证明式（２）右边． 　　由文献［１－2］及文献中同类不等式的不等程度小于异类不等式的不等程度的性质， 　　 　　 现在 　　 　　所以 　　 　　将式（２７）代入式（２６），得 　　 　　因为 　　 　　将式（２９），（３０）代入式（２８），从而 　　 　　成立 　　两点补充说明： 　　（ⅰ）上述不等式当积分区间分得愈细，不等式的不等程度愈小，当积分上限ｘ趋近于积分下限ｂ时，其不等程度趋向于零． 　　（ⅱ）是偶函数，关于对称于原点区间上的定积分（ｂ＜ｘ＜０）可利用偶函数的性质简化计算． 　　二、计算实例 　　例１计算 　　 　　解由式（１）得 　　 　　即 　　 　　计算误差 　　１００ 　　积分区间未等分，积分误差最大，现将积分区间３等分． 　　 　　代入式（１）得 　　 　　 　　即 　　 　　积分区间３等分，积分误差减小． 　　计算误差 　　０．９０９６４４５０７－０．６２６０７６６４８＝０．２８３５６７８５９． 　　若积分区间进一步分细，积分误差更小．略． 　　容易看出 　　 　　例２计算 　　 　　 　　即 　　 　　计算误差 　　－６．０２８０２９９３５－（－１２＝６．７３１３７９８１５． 　　积分区间未等分，积分误差最大．现将积分区间３等分， 　　 　　代入式（４）得 　　 　　即 　　 　　积分区间３等分，积分误差减小． 　　计算误差 　　－８．３５５４０１２３８－（－９．８６４２１８２１４）＝ 　　１．５０８８１６９７６． 　　若积分区间进一步分细，积分误差更小．略． 　　容易看出 　　 　　三、结语 　　本文 重 点 阐 述 了 利 用 积 分 不 等 式 求 定 积 分的值，还可以确定误差大小，若工程设计精度要求很高，则需先对积分不等式编程（将积分区间分得很细），使用计算机进行数值计算．这样把在理论上称之为求近似值的问题实质上已转换为求精确值． 　　参考文献： 　　［1］李平乐．关于一类积分的近似计算及误差确定的第三种论证 方 法 ［Ｊ］．西 北 师 范 大 学 学 报：自 然 科 学 版，２００８，４４（４１）：５－１９． 　　［2］李平乐．新的积分近似计算方法在工程设计中的应用之一［Ｊ］．太原师范学院学报：自然科学版，２００８，７（３）：３７－３９． 　　计计算中的 应 用［Ｊ］．焦 作 大 学 学 报，２０１０（１）：１１４－１１５． 　　［3］丁鹤龄．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８２． 　　［4］陆庆乐．高等数学：工本［Ｍ］．西安：西安交通大学出版社，１９９９． 　　［5］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．３版