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第二章 玻耳兹曼统计 上节重点 理想气体状态方程量子统计和经典统计： 非简并条件： 2.3 麦克斯韦速度分布律 麦克斯韦 James Clerk Maxwell (1831-1879) 英国物理学家、数学家 研究领域：电磁理论、分子 物理学、统计物理学、光学、 力学、弹性理论方面的研究。 成就：建立的电磁场理论！ 2.3 麦克斯韦速度分布律 麦克斯韦分布律——经典统计法研究 直角坐标 球极坐标 麦克斯韦分布律的应用 最概然速率 分子平均速率 方均根速率 应用实例——碰壁数 2.3 麦克斯韦速度分布律 1. 麦克斯韦分布律——经典统计法研究 不同h0的选择对统计结果的影响：量子统计理论和经典统计理论给出的内能和物态方程等的玻耳兹曼统计结果相同，与h0的选择无关。 假设一个包含由N个气体分子体积为V的系统： 满足非简并条件，遵从玻耳兹曼分布; 在宏观大小的容器内，分子的平动能量可以看作准连续的变量。 量子统计理论、经典统计理论速度分布结果相同 2.3 麦克斯韦速度分布律 a. 直角坐标 玻耳兹曼分布的经典表达式： 分子质心运动能量的经典表达式： 简并度： 质心平动动量在dpxdpydpz范围内分子数为： 2.3 麦克斯韦速度分布律 2.3 麦克斯韦速度分布律 动量用速度表示：px=mvx，py=mvy，pz=mvz 在dvxdvydvz范围内的分子数为 单位体积内速度在dvxdvydvz范围内分子数为 即麦克斯韦速度分布率。其中 且n=N/V。 2.3 麦克斯韦速度分布律 b.球极坐标 2.3 麦克斯韦速度分布律 2.3 麦克斯韦速度分布律 2. 麦克斯韦分布律的应用 a. 最概然速率vm （1）使速率分布函数取极大值的速率。 （2）如果把速率分为相等的间隔，vm所在的间隔分子数最多。 2.3 麦克斯韦速度分布律 b. 分子平均速率 平均速率 是速率v的平均值 2.3 麦克斯韦速度分布律 c. 方均根速率 方均根速率vs是v2的平均值的平方根 2.3 麦克斯韦速度分布律 最概然速率、平均速率、方均根速率的表达式可知，都与 成正比，与 成反比。其比值是 2.3 麦克斯韦速度分布律 3. 麦氏分布的应用，求碰壁数。 f为麦克斯韦速度分布 2.3 麦克斯韦速度分布律 本节重点 麦克斯韦速度分布率： 用麦氏分布求最概然速率、平均速率和方均根速率。 麦氏分布的应用，求碰壁数。 2.4 能量均分定理 能量均分定理的证明 能量均分定理的应用 单原子分子系统的内能和热容量 双原子分子系统的内能和热容量 固体中的原子内能和热容量 平衡辐射： 2.4 能量均分定理 1. 能量均分定理的证明 对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值等于 经典力学: 粒子能量=动能+势能 动能 位置q1, q2,…, qr对应着势能， 动量p1, p2,…, pr对应着动能。 2.4 能量均分定理 2.4 能量均分定理 2.4 能量均分定理 假如势能中有一部分可表为平方项: 其中bi都是正数，有可能是 的函数(r’r)，且动能中的系数ai也只是 的函数，与q1, … , qr’ 无关，则可同样证明： 2.4 能量均分定理 2. 能量均分定理的应用 a.单原子分子系统的内能和热容量 只有平动，能量： 平均能量： 内能： 定容热容量： 定压热容量： 定压热容量与定容热容量比 ： 2.4 能量均分定理 2.4 能量均分定理 问题1：原子内电子对热容量没有贡献，这是经典理论无法解释的。 2.4 能量均分定理 b. 双原子分子系统的内能和热容量 不考虑相对运动 ，有五个平方项： 2.4 能量均分定理 2.4 能量均分定理 问题2：氢气低温性质经典理论不能解释。 问题3：不考虑两原子相对运动缺乏理论依据，经典理论不能解释的。 2.4 能量均分定理 c.固体中的原子内能和热容量 一个自由度上的能量 与杜隆－珀蒂实验符合 KT：等温压缩系数 2.4 能量均分定理 2.4 能量均分定理 d.平衡辐射 单色平面波的电场分量: 2.4 能量均分定理 2.4 能量均分定理 在体积V内，在dkxdkydkz的波矢范围内，辐射场的振动自由度数(两个偏振方向) 在体积V内，在ω~ω+dω的圆频率范围内，辐射场的振动自由度数