20151218矩阵与数值分析期末复习..docVIP

《矩阵与数值分析》期末复习 2010级试题参考答案、评分标准 一、填空题（共50分，每填对一空得2分） （1）已知，分别是和的具有4位有效数字的近似值，那么， ；． （2）的QR分解；将向量映射成的 Householder变换矩阵， ． （3）记区间上以为权函数的正交多项式序列为．则 其中的；（可以相差常数倍） 在上的二次最佳平方逼近 多项式． 类似问题 （4）数值求解微分方程的Euler法格式为 ； 梯形法格式为 （步长）． （几阶？几步？） （5）已知是一个次数不超过4的多项式，其部分函数值如下表所示： 0 1 2 3 4 1 -1 1 19 65 则， ， ． 类似问题 Lagrange插值公式、Newton插值公式，会灵活利用余项估计． 再进一步构造插值型求积公式． （6）满足下列条件： 的三次Hermite插值多项式 （写成最简形式）. （7）Simpson数值求积公式的代数精度为 ．用该公式分别估算定积分和 ，所得近似值分别记为和，则，. 类似问题 给出表格函数，求数值积分. （8）迭代格式对于任意初值均收敛于 ，其收敛阶 . 类似问题 构造Newton法、弦截法格式，写出收敛阶. （9）奇异值分解，则 ， . 类似问题 构造SVD并由此讨论矩阵的性质. （10）已知,则，， ， ， . 其它常见问题 求向量、矩阵的常用范数；秦九韶算法；三次样条函数的判别. 二、（12分）设线性方程组 (1) 求系数矩阵的LU分解； (2) 利用平方根法（又称Cholesky方法）解此方程组； (3) 构造解此方程组的G-S迭代格式，并讨论其收敛性． 解 (1) ， ， ．------------4分 (2) 的Cholesky分解与LU分解相同． 由 ， 解得 ； 再由， 解得 ． ---------------------8分 (3) G-S迭代格式 ， --------------------10分 收敛性证明 方法一、 因为对称正定，所以G-S法收敛． --------------------12分 方法二、 由特征方程 ， 知，所以G-S法收敛． --------------------12分 三、（8分）求拟合下列数据的最小二乘曲线. 0 1 2 3 4 1.8 1.2 -0.2 -0.8 -2.2 解 法方程组 　　　　　　　　　　　 ------------------------6分 解得　， -------------------------------------8分 最小二乘解 ．　　　　　　 　　　　　　　 最小二乘法其它类型 非线性拟合情形，如等. 四、（8分）设是上的1-向量范数，为非奇异矩阵．对于任意，定义 ．证明：是上的一种向量范数，并且，其中 为的列向量． 证 （1）非负性 对于任意，； 并且 ； -------- ---------2分 （2）齐次性 ； ---------4分 （3）三角不等式 ；-----6分 综上，是上的一种向量范数． （4）不等式的证明 方法一、 由算子范数与向量范数的相容性， ． ---------------------------8分 方法二、 ． --------------------8分 五、（12分）对于解常微分方程初值问题的线性二步法 （1）求其局部截断误差（必须写出主项），并指出该方法是几阶方法； （2）讨论收敛性； （3）求绝对稳定区间． 解 （1） ； ------------------------------------------4分 局部截断误差　； ----------------------------------------5分 该方法是三阶方法． 　　　　 ----------------------------------------6分 （2） 由 ， 解得 ． 知该方法满足根条件，又因其阶 ，所以该二步法收敛． -----------------------------------8分 （3）特征方程， ， ， ， 以下解不等式 ． （*） ------------------------10分 首先由，得 其解 ； 再由，得 ，其