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新课预习讲义 选修2－1：第二章椭圆（二） §2.2.2椭圆的几何性质 ●学习目标 1.掌握椭圆的简单几何性质 2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响. 3.通过椭圆标准方程的求法，体会一元二次方程的根与系数的关系的应用． 4.掌握椭圆的离心率的求法及其范围的确定． 5.掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题. ●学习重点： 1.椭圆的简单几何性质．(重点) 2.椭圆的方程和性质的应用及直线和椭圆的位置关系，相关的距离、弦长、中点等问题是考查的重点． 3.椭圆的第二定义，椭圆的焦点弦、焦半径及其相关问题. ●学习难点 1.本节常与几何图形、方程、不等式、平面向量等内容结合出题． 2.命题形式比较灵活，各种题型均有可能出现.，命题的形式多样化. 一、自学导航 ●知识回顾： 复习1：椭圆的定义是____________________________________________________， 复习2：椭圆的标准方程是：①焦点在x轴上时，___________________，焦点在y轴上时_______________； 　　　　、、间的关系是_________________ 复习3：椭圆上一点到左焦点的距离是，那么它到右焦点的距离是 ． 复习4：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ． ●预习教材：第43页——第51页的内容。 ●自主梳理： 1、椭圆的几何性质：（1）范围；（2）对称性；（3）顶点（长轴、短轴、焦距）；（4）离心率； 2、椭圆的第二定义及椭圆的准线方程（教材第51页） ●预习检测： 1．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为(　　) A.　　　　　　　　B.　　　　　　C. D. 2．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是(　　) A.＋＝1或＋＝1 　B.＋＝1 C.＋＝1 　　D.＋＝1 3．已知点(2,3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是(　　) A．点(－2,3)在椭圆外　　　　　B．点(3,2)在椭圆上 C．点(－2，－3)在椭圆内 　　D．点(2，－3)在椭圆上 4．已知点(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________． 5．过椭圆＋＝1的左焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求弦AB的长． ●问题与困惑： 二、互动探究 ●问题探究： （一）椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 ? 标准方程 　　　　 范围 ， ?　　　， 顶点 (±a,0)，(0，±b) ?(±a,0)，(0，±b) 轴长 短轴长＝，长轴长 焦点 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：坐标原点. 离心率 . （二）椭圆的第二定义、准线方程、焦半径等 1、椭圆的第二定义：若动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数 ，则动点的轨迹是一个椭圆. 2、椭圆的准线方程：若焦点在轴上，则左准线是；右准线是； 若焦点在轴上，则下准线是；上准线是； 3、椭圆上任意一点的焦半径（其中，为左焦点，为右焦点）： 　　　　　　　　　　， （若焦点在轴上，其中，为下焦点，为上焦点，则， ●典例导析： 题型一、椭圆的简单几何性质 例1、求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率： (1)4x2＋9y2＝36； (2)m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)． [思路点拨] [题后感悟]　已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2，求出焦点坐标，再写出顶点坐标． 变式训练： 1.求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． (1)25x2＋y2＝25；　　　　　　　(2)4x2＋9y2＝1. 题型二、由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程 例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于； (2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4)． [思路点拨] [题后感悟]　(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用． 变式训练： 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短