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8.6抛物线几何性质 一、知识点 通过对抛物线标准方程的讨论，掌握抛物线的性质（范围、对称性、顶点、离心率），同时掌握抛物线的简单画法。 二、能力训练点 进一步熟练掌握利用方程研究曲线的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生的归纳能力。 进一步理解并掌握代数知识、平面几何知识在解析几何中的作用，从而提高运算能力和分析问题、解决问题的能力。 三、德育渗透点 揭示透过现象看本质的辩证唯物主义观念。 四、美育渗透点 进一步感知数学来源于生活又服务于生活，数学揭示了生活中美的真谛。 五、学法指导 研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，用类比的方法自行得出。抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率e＝1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有对称中心。通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线。 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴的开口方向，一次项的变量如果为x（或y），则x轴（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的方程时，首先根据已知条件确定抛物线方程的类型，再求出方程中的参数p。 六、重点与难点 1、重点：抛物线的几何性质及其运用 2、难点：抛物线的几何性质的运用。 七、课时安排　三课时 第一课时 教学目标 1.掌握抛物线的几何性质; 2.能根据几何性质确定抛物线的标准方程; 3.能利用工具作出抛物线的图形. 教学重点 抛物线的几何性质 教学难点 几何性质的应用 教学方法 学导式 ●教学过程 情境设置 简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答) 师:这一节,我们根据抛物线的标准方程 ①来研究它的几何性质 探索研究 范围 当x的值增大时,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支 的区别,无渐近线). 2.对称性 抛物线关于x轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e表示.由抛物线定义可知,e=1. 说明:对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程. 小结：抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率e＝1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有对称中心。 反思应用 例1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,-2),求它的标准方程,并用描点法画出图形. 师:由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数P. 解:因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,-2),所以可设它的标准方程为: 因为点M在抛物线上，所以，即 因此所求方程是 下面列表、描点、作图： 0 1 2 3 4 …… 0 2 2．8 3．5 4 …… 说明：①利用抛物线的对称性可以简化作图步骤； ②抛物线没有渐近线； ③抛物线的标准方程中的几何意义：抛物线的通径，即连结通过焦点而垂直于轴直线与抛物线两交点的线段. 练习 1、过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|等于（　） A、8　　　　　　　B、10　　　　　　　C、6　　　　　　　D、4 2、过抛物线y＝ax2(a0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、QF的长分别为p、q，则1/p＋1/q等于（　） A、2a　　　　　　B、1/2a C、4a D、4/a 3、抛物线x＝ay2(a≠0)的焦点坐标为________。 4、已知抛物线的焦点(2,1)，准线方程为2x＋y＝0，则其顶点坐标为______。 5、顶点在原点，焦点在x轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是________。 例2　若线段AB是抛物线的焦点弦，A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1，求证：∠A1FB1＝90° 证明：不妨设抛物线方程为y2＝2px(p0) 由抛物线定义知|AA1|＝|AF|,|BB1|＝|BF|, ∴∠AFA1＝∠AA1F，∠BFB1＝∠BB1F， ∵AA1∥BB1∥x轴， ∴∠AFO＝∠AA1F，∠BFO＝∠BB1F， ∴∠AFA1＝∠AFO，∠BFB1＝∠BFO，∴∠A1FB2＝90° 变1：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。 分析：根据直线与圆的位置关系知，若以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物