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第四章 不定积分 §4-1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分 1．定义1 如果对任一，都有 或 则称为在区间I 上的原函数。 例如：，即是的原函数。 ，即是的原函数。 2．原函数存在定理：如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数，使得对任一，有。 注1：如果有一个原函数，则就有无穷多个原函数。 设是的原函数，则，即也为的原函数，其中为任意常数。 注2：如果与都为在区间I 上的原函数，则与之差为常数，即 （C为常数） 注3：如果为在区间I 上的一个原函数，则（为任意常数）可表达的任意一个原函数。 3．定义2 在区间I上，的带有任意常数项的原函数，成为在区间I上的不定积分，记为。 如果为的一个原函数，则 ，（为任意常数） 因为 ， 得 因为，时，；时，，得 ，因此有 设曲线过点，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。 解：设曲线方程为，其上任一点处切线的斜率为 从而 由，得，因此所求曲线方程为 由原函数与不定积分的概念可得： 二、积分公式 1) (为常数) 2) () 3) 4) 5) 例4． 三、不定积分的性质 性质1． 性质2．，　（为常数，） 求　 解： 　　　 求　 解： 　　　 求　 解： 　　　　　 例8．求　 解： 　　　 求　 解： 　　　 求　 解： 　　　 小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用 作业：190 页 1，（4）（10）（13）（14）（18）（19）（20）（22） （23）（24） §4-2、换元积分法 第一类换元积分法 设为的原函数，即 或 如果 ，且可微，则 即为的原函数，或 因此有 1．定理1 设为的原函数，可微，则 (2-1) 公式(2-1)称为第一类换元积分公式。 求 解： 求 解： 求 解：原式= 求 ， 解： 求 解： 求 解： 求 解： 求 解： 小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法，第一类换元法也称为“凑微分”的方法。 作业：P205，2，（1）--（28） 二、第二类换元积分法 定理2 设是单调的可导函数，且，又设 具有原函数，则 (2-2) 其中为的反函数。 公式(2-2)称为第二类换元积分公式。 求 ， 解：令 ，，则 ，，因此有 求 ， 解：令 ，，则 ，，因此有 其中。用类似方法可得 求 解： 小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一类换元法也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即或，与，分别适用于三类函数，与。“倒代换”也属于第二类换元法。 作业：205页 1，（34）（35）（36）（37） §4-3、分部积分法 一、分部积分法 1．分部积分公式： 设 ，，则有 或 两端求不定积分，得 或 即 (3-1) 或 (3-2) 公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。 求 解： 求 解： 注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为，其余部分取为。 求