CHAPTER02-平面问题有限元01-本科生2015春季分析.ppt

有限元方法 第2章 * 最小势能原理的证明 有限元方法 第2章 * 注意到： 有限元方法 第2章 * 上式右边第一个积分可以进一步写为 有限元方法 第2章 * 有限元方法 第2章 * 由于 必然有上述的平衡方程和力边界条件得以满足。 所以 （1） 满足位移边界的势能极小等价于平衡方程和力边界条件 （2） 解微分方程的问题转化为极小问题 对于的极小 有限元方法 第2章 * 2.1.9 经典弹性力学的近似解- RITZ方法 有限元方法 第2章 * 举例1 简支梁的计算 一旦假定了位移的形式， 则极小化问题变为对待定参数的极小化 只是对所选定位移函数形式，导致的极小化， 不是所有的满足位移边界条件的位移函数， 因此是近似。 整个位移函数是在整个结构区域选取的。 有限元方法 第2章 * 第2章 作业1-3 有限元方法 第2章 * 第2章 作业4 4 请说明下列问题是平面应力还是平面应变? （1）船体梁在总纵弯曲状态下，甲板的应力 ； （2）潜艇耐压壳体在水下外压作用； （3）水工结构中的坝体； （4）船体结构强横梁腹板 有限元方法 第2章 * 2. 2平面问题有限元-三角形单元 2.2.1 单元的划分 有限元方法 第2章 * 有限元方法 第2章 * 单元局部编号 单元总体节点编号 节点位移: 单元节点位移 ： 有限元方法 第2章 * 2.2.2 三角形单元的位移模式 如果节点位移已知，如何给出单元内部任意一点的位移？ FEM的思想：单元内部插值 问题: 单元内任意一点的位移是什么形式? 先假定单元内部的变形为一多项式, 这在一个小的范围内是可行的。类似与曲线上相近两点之间可以近似用直线代替。 有限元方法 第2章 * 先假定单元内部的变形为一多项式 再进一步确定系数 如何确定多项式的系数？ 将其表示为节点位移的函数，只要节点位移给出， 则问题得以求解。 有限元方法 第2章 * 位移模式或位移函数 在节点上应满足节点位移 有限元方法 第2章 * 有限元方法 第2章 * 有限元方法 第2章 * 有限元方法 第2章 * 将其表示为节点位移的函数，其数学本质就是由三个顶点的位移去插值（关于插值的理解后面会进一步讨论）任意一点的位移。 有限元方法 第2章 * 关于插值的理解： 两个点线性插值 有限元方法 第2章 * 形函数（插值函数）Nshape function 请注意：我们只是在单元上假定位移的形式 有限元方法 第2章 * 形函数N的性质 （1） （2）任意点插值函数的和为1 有限元方法 第2章 * 形函数N的性质 意义：由于单元受相邻单元的影响，必然产生刚体位移，因此我们在构造N的时候必须使得位移模式包含刚体位移。 （3）单元与单元边界上的位移是唯一的。 这便保证了位移的连续性，否则单元之间出现间隙或重叠。（验证留做课后思考） 有限元方法 第2章 * 第2章 作业5-6 5 已经三角形单元三个节点坐标。 请写出对应的三个形函数， 并验证 6 验证三节点三角形单元在单元与单元的边界上位移连续。 有限元方法 第2章 * 2.2.3 三角形单元的应变和应力 有限元方法 第2章 * 现在我们将所有的待求变量均用节点位移来表示. * * 有限元方法 第2章 有限元方法 第2章 * * 第2章 弹性力学平面问题有限元 FEM for 2D elasticity 有限元方法 第2章 * 2.1 弹性力学平面问题基本方程 2.2 平面问题有限元-三角形单元 2.3 高精度三角形单元 2.4 4节点矩形单元的简单介绍 有限元方法 第2章 * 结构： 杆系，板壳，一般的固体 在弹性范围 内研究 分析方法 ： 材料力学 ， 板壳力学， 船舶结构力学， 更一般的 弹性力学 2.1 弹性力学平面问题基本方程 Basic governing equation 有限元方法 第2章 * 2.1.1 一点的应力状态 stress description 有限元方法 第2章 * 有9个应力分量 或： 有限元方