正定矩阵的性质研究.docVIP

数学1391 正定矩阵的性质研究 为实矩阵，且的秩，证明：正定 证明：， 只有零解 正定 例2.为阶正定矩阵，为阶实矩阵，且，则是正定矩阵. 证明: 为实对称矩阵 ， 只有零解 A正定 是正定矩阵 总结：以上两例，利用实矩阵构造正定矩阵的方法： 若A 不是方阵，也不对称，则是正定矩阵，而且上述两例显示了齐次线性方程组理论在正定二次型理论中的应用。 2.1 判别二次型的正定性 判别二次型正定性的方法之一就是利用对称矩阵A 的正定性，即：若二次型 f 的对称矩阵A 是正定的，则f是正定二次型；若A是负定的，则f也是负定二次型。 详细的例证分析此处不再赘述，但我们仍然可以看到，正定矩阵对于控制系统稳定性的判定有着很好的辅助性，可以将繁琐的理论计算转化为对矩阵是否正定的判定上，从而保证了计算的快速性与准确性。 【总结】本文结合相关文献，介绍了正定矩阵定义的两种描述方法，使读者可以多角度的深入了解正定矩阵的基本意义。其次，文章介绍了正定矩阵常见的4个性质与6个推论，以及判定矩阵正定的两种方法，即：霍尔维兹定理判定法与特征值判定法，最后以若干实际算例，说明了正定矩阵的应用，以作抛砖引玉。