(精)第三章1 扭转.pptVIP

1. 变形几何关系： 距圆心为 ? 任一点处的??与到圆心的距离?成正比。 —— 扭转角沿长度方向变化率。 2. 物理关系： 虎克定律： 代入上式得： 表明横截面上任意点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，由剪应力互等定理，则在径向截面和横截面上，沿半径剪应力的分布如图 O dA ? 令 3. 静力学关系： 代入物理关系式 得： —横截面上距圆心为?处任一点剪应力计算公式 4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。 矩形截面杆扭转 翘曲 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 ? —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 单位：mm4，m4。 ③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。 对于实心圆截面： d D O ? d? 对于空心圆截面： ④ 应力分布 （实心截面） （空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。 ⑤ 确定最大剪应力： 由 知：当 Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。 对于实心圆截面： 对于空心圆截面： 练习 三、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： 对于等截面圆轴： ([?] 称为许用剪应力。) 强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： [例3] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 [?]=30M Pa, 试校核其强度。 T m 解：①求扭矩及扭矩图 ②计算并校核剪应力强度 ③此轴满足强度要求。 D3 =135 D2=75 D1=70 A B C m m x [例4] 设有一实心圆轴与一内外径比为3/4的空心圆轴，两轴材料及长度都相同。承受转矩均为m，已知两轴的最大剪应力相等，试比较两轴的重量。 解.（ 1 ）实心轴直径 d与空心轴外径D之间的关系 （2）两轴的重量比 即空心轴的重量仅为实心轴重量的56.4%。 由于两轴得扭矩和最大剪应力分别相等，故得 1．在本题条件下，横截面面积之比即重量之比。单从力学角度，空心轴要比实心轴更有效地利用材料。 2．从横截面上的剪应力分布分析，由于扭转剪应力与离 圆心的距离成正比，故把靠近圆心处承受剪应力较小的材料移到轴的外缘处，就能充分利用材料的强度，从而节省了原材料。 3．在工程实际中，空心轴是用实心圆通过钻孔得到的，因此，除非减轻重量为主要考虑因素（如飞机中的各种轴），或有使用要求（如机床主轴）要采用空心轴，否则，制造空心轴并不总是值得的。 讨论 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件 一、扭转时的变形 由公式 知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角? 为 二、单位扭转角? ： 或 三、刚度条件 或 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。 [? ]称为许用单位扭转角。 刚度计算的三方面： ① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： 有时，还可依据此条件进行选材。 [例5] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ，[? ]=70M Pa，[? ]=1o/m ，试确定： ①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排合理？ 解：①图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得： 500 400 N1 N3 N2 A C B T x –7.024 – 4.21 (kNm) 由刚度条件得： 500 400 N1 N3 N2 A C B T x –7.024 –4.21 (kNm) 综上： ②全轴选同一直径时 ③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。 T x – 4.21 (kNm) 2.814 [例6] 阶梯圆轴AB两端固定（如图所示)受外力偶矩m=4.5 KN.m 作用.若d1=70mm, d2=55mm l1=1m,l2=1.5m,材料的G=80GPa,[? ]=60MPa， [? ]=1.5 o/m,试进行强度和刚度校核 (1)受力分析如图所示 列轴的静力平衡方程 (2) 变形几何关系 (3) 物理关系 代入几何关系 与平衡方程联立解得支反力矩为 （5）强度