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数学学院 信息与计算科学系 第一节 二分法 设非线性方程为 f (x)=0 (2-1) 方程(2-1)的解 称为方程的根或函数 f (x)的零点。 其中m为大于1的整数,且g(x) ≠0,称 为方程(2-1)的m重根,或函数 f (x) 的m重零点. 若 f (x) 为n 次多项式,则称 f (x)=0为n 次代数方程 . 若 f (x) 为超越函数,则称f (x)=0 为超越方程 。 若 f (x) 可表示为 一、求隔根区间的一般方法 若 f(x) 在[a,b]内连续,且f(a) · f(b)0 ,则 f(x)=0 在[a,b] 内必有根;若f(x) 在[a,b]内还严格单调,则 f(x)=0在[a,b] 内只有一根,据此可得求隔根区间的两种方法。 1. 做图法 画出 y= f(x) 的草图, 由 f (x) 与横轴交点的大概位置来确定隔根区间; 或者利用导函数 的正、负与函数 f (x) 的单调性的关系确定根的大概位置。 若 f (x) 比较复杂, 还可将方程 f(x)=0 化为一个等价方程 ? (x)= ? (x), 则曲线 y=? (x) 与 y= ? (x) 之交点 的横坐标 即为原方程之根, 据此也可通过作图求得 的隔根区间。 判别下列方程有几个实根，并求隔根区间。(1) f(x)=x3-x-1=0 (2) f(x)=x4-4x3+1=0 解 (1) f(x)=x3-x-1=0 将方程变形为 x3=x+1 例1 由图可知,方程只有一个实根 所以(1,1.5) 即为其隔根区间。 绘曲线 y=x3 及 y=x+1 该二点将实轴分为三个区间: (-∞,0), (0,3)，(3, +∞) (2) 方程 f (x)=x4-4x3+1=0 又知 f (-∞)0, f (0)=10, f (3)=-260, f (+∞)0 f ?(x) 在此三区间的符号分别为“-”、“- ”、“+” 由 f ?(x)= 4 x2(x-3)=0 得驻点 x1=0, x2=3。 以上分析可用下表表示 x (-∞,0) 0 (0,3) 3 (3,4) 4 (4,+∞) f ?(x) f (x) - ↘ 0 + - ↘ 0 - + ↗ ++ + ↗ 隔根区间 (0,3) (3,4) 可见 f (x) 仅有两个实根, 分别位于(0, 3) , (3,+∞), 又 f (4)=10, 所以第二根的隔根区间可缩小为 (3,4)。 2. 逐步有哪些信誉好的足球投注网站法 从区间[a,b] 的左端点 a 出发, 按选定的步长h 一步步向右有哪些信誉好的足球投注网站，若 f(a+jh) ·f(a+(j+1)h)0 (j=0,1,2, …) 则区间[ a+jh , a+(j+1)h ]内必有根。 有哪些信誉好的足球投注网站过程也可从 b 开始，这时应取步长 h 0。 二、增值寻根法 设线性方程 的根为 增值寻根法的基本思想是，从初值 开始，按规定的一个初始步长h 来增值。令 ,同时计算 在增值的计算过程中可能遇到三种情形： 此时 即为方程的根 这说明区间 内无根 图2-1 图2-2 三、 二分法 将区间一分为二。若 f ( x0 ) = 0, 则 x0 就是方程的根,否则判别根 在 x0 的左侧还是右侧。 内有方程的根。 设 f (x) 在区间[a , b ]上连续, 则[a , b] 若 则 ∈( a , x0 ), 令 a1= a , b1=x0 ; 若 则 ∈(x0 , b ), 令 a1= x0 , b1=b。 取[ a , b ]的中点 不论出现哪种情况, ( a1 , b1 ) 均为新的有根区间, 它的长度只有原有根区间长度的一半, 达到了压缩有根区间的目的。 对压缩了的有根区间, 又可实行同样的步骤, 再压缩。如此反复进行, 即可得一系列有