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?数学之美之SVD分解?2012-07-03 10:48:59分类：?C/C++所谓SVD，就是要把矩阵进行如下转换：A = USVTthe columns of?U?are the eigenvectors of the?AAT?matrix and the columns of?V?are the eigenvectors of the?ATA?matrix.?VT?is the transpose of?V?and?S?is a diagonal matrix. By definition the nondiagonal elements of diagonal matrices are zero. The diagonal elements of?S?are a special kind of values of the original matrix. These are termed the?singular values?of?A.?1?The Frobenius Norm一个矩阵所有元素的平方和再开方称为这个矩阵的Frobenius Norm。特殊情况下，行矩阵的Frobenius Norm为该向量的长度2 计算A转置 A*At At*A　　　?3 计算S　在SVD中，将AAt的特征值从大到小排列，并开方，得到的就是奇异值。　比如上图中，特征值为40，10.因此奇异值为6.32,3.16。矩阵的奇异值有如下特性：　a 矩阵的奇异值乘积等于矩阵行列式的值 6.32*3.16 = 20 = |A|　b 矩阵A的?Frobenius Norm等于奇异值的平方和的开方　　总结一下计算S的步骤：1 计算AT?和ATA；2?计算ATA的特征值，排序并开方。　由此可以得到S，下面来看如何计算?U，VT4? 计算V和VT　利用ATA的特征值来计算特征向量　?　既然刚才提到V就是特征向量的组合，那么　5 计算U　A = USVT　AV = USVTV = US　AVS-1?= USS-1　U = AVS-1　　?6 计算SVD　可以看出，SVD可以对矩阵进行分解重建。7 降维的SVD　如果我们只保留前k个最大的奇异值，前k列个U，前k行个V，相当于将数据中占比不大的噪音进行过滤，这样既可以有效地对数据进行泛化，又起到了降维减少运算量的目的。是不是很奇妙？　8 实际用途　　我们实际的工作中，经常会用到这种降维方法。包括现在非常火的推荐问题，以及LSI问题都对SVD有着广泛的应用。　举个最常用的例子，在文本挖掘中：A就是 t (term) 行 d (document) 列的矩阵，每列是一篇文章，每行是一个单词，每个单元格的当前单词在当前文章里的出现次数。 U 是一个 t?行 r?列 的矩阵， V 是一个 r?行 d 列 的矩阵， S 是一个 r?行 r?列的对角矩阵。这里 r 的大小是 A的秩。那么U和V中分别是A的奇异向量，而S是A的奇异值。AA的正交单位特征向量组成U，特征值组成SS，AA的正交单位特征向量组成V，特征 值（与AA相同）组成SS。希望大家细细体会，多多交流，一起进步。?svd的另外一篇好文章：转自：/LeftNotEasy/archive/2011/01/19/svd-and-applications.html前言： 上一次写了关于PCA与LDA的 文章，PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。特征值和奇异值在 大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明 显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一 样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上 的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。 在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做有哪些信誉好的足球投注网站引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing） 另外在这里抱怨一下，之前在百度里面有哪些信誉好的足球投注网站过SVD，出来的结果都是俄罗斯的一种狙击枪（AK47同时代的），是因为穿越火线这个游戏里面有一把狙击枪叫做 SVD，而在Google上面有哪些信誉好的足球投注网站的时候，出来的都是奇异值分解（英文资料为主）。想玩玩战争游