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Excel回归结果的解读 利用Excel的数据分析进行回归，可以得到一系列的统计参量。下面以连续10年积雪深度和灌溉面积序列（图1）为例给予详细的说明。 图1 连续10年的最大积雪深度与灌溉面积（1971－1980） 回归结果摘要（Summary Output）如下（图2）： 图2 利用数据分析工具得到的回归结果 第一部分：回归统计表 这一部分给出了相关系数、测定系数、校正测定系数、标准误差和样本数目如下（表1）： 表1 回归统计表 逐行说明如下： Multiple对应的数据是相关系数(correlation coefficient)，即R=0.989416。 R Square对应的数值为测定系数(determination coefficient)，或称拟合优度(goodness of fit)，它是相关系数的平方，即有R2=0.9894162=0.978944。 Adjusted对应的是校正测定系数(adjusted determination coefficient)，计算公式为 式中n为样本数，m为变量数，R2为测定系数。对于本例，n=10，m=1，R2=0.978944，代入上式得 标准误差（standard error）对应的即所谓标准误差，计算公式为 这里SSe为剩余平方和，可以从下面的方差分析表中读出，即有SSe=16.10676，代入上式可得 最后一行的观测值对应的是样本数目，即有n=10。 第二部分，方差分析表 方差分析部分包括自由度、误差平方和、均方差、F值、P值等（表2）。 表2 方差分析表（ANOVA） 逐列、分行说明如下： 第一列df对应的是自由度（degree of freedom），第一行是回归自由度dfr，等于变量数目，即dfr=m；第二行为残差自由度dfe，等于样本数目减去变量数目再减1，即有dfe=n-m-1；第三行为总自由度dft，等于样本数目减1，即有dft=n-1。对于本例，m=1，n=10，因此，dfr=1，dfe=n-m-1=8，dft=n-1=9。 第二列SS对应的是误差平方和，或称变差。第一行为回归平方和或称回归变差SSr，即有 它表征的是因变量的预测值对其平均值的总偏差。 SSr又称组间离差平方和，反应出不同的因子对样本波动的影响 第二行为剩余平方和（也称残差平方和）或称剩余变差SSe，即有 它表征的是因变量对其预测值的总偏差，这个数值越大，意味着拟合的效果越差。上述的y的标准误差即由SSe给出。 SSe又称组内离差平方和，是不考虑组间方差的纯随机影响 第三行为总平方和或称总变差SSt，即有 它表示的是因变量对其平均值的总偏差。容易验证748.8542+16.10676=764.961，即有 总离差平方和 = 组间离差平方和 + 组内离差平方和 样本数据的波动有两个来源：一个是随机波动，一个是因子影响。样本数据的波动，可通过总离差平方和来反映。这个总离差平方和可分解为组间方差和组内方差两部分。 而测定系数就是回归平方和在总平方和中所占的比重，即有 显然这个数值越大，拟合的效果也就越好。 方差、均方差：表示一组数相对平均值的离散程度 R2：预测值与实际值相对平均值的分布情况比较，越接近1，说明预测值和实际值的分布情况越接近。 第四列MS对应的是均方差，它是误差平方和除以相应的自由度得到的商。第一行为回归均方差MSr，即有 第二行为剩余均方差MSe，即有 显然这个数值越小，拟合的效果也就越好。 第四列对应的是F值，用于线性关系的判定。对于一元线性回归，F值的计算公式为 式中R2=0.978944，dfe=10-1-1=8，因此 方差、均方差：表示一组数相对平均值的离散程度 F检验完整公式 F检验法是英国统计学家Fisher提出的，主要通过比较两组数据的均方差，以确定他们的精密度是否有显著性差异。 F F表 表明两组数据没有显著差异； F ≥ F表 表明两组数据存在显著差异。 此处的F检验是比较回归均方差（组间均方差）和剩余均方差（组内均方差），如果组间均方差明显大于组内均方差，说明数据波动的主要来源是组间均方差，因子是引起波动的主要原因，可认为因子影响是显著的。 第五列Significance F对应的是在显著性水平下的Fα临界值，其实等于P值，即弃真概率。所谓“弃真概率”即模型为假的概率，显然1-P便是模型为真的概率。可见，P值越小越好。对于本例，P=0.00000005420.0001，故置信度达到99.99%以上。 第三部分，回归参数表 回归参数表包括回归模型的截距、斜率及其有关的检验参数（表3）。 表3 回归参数表 第一列Coefficients对应的模型的回归系数，包括截距a=2