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数学教学案例 二次函数性质的应用 杨 艳 一　教学目标 能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题。 掌握用二次函数的性质解决具体问题的一般步骤。 提高学生归纳、建模、转化、数形结合的思想，培养学生的创新精神和实践能力。 让学生体验知识来源于实践又作用于实践的辩证唯物主义观点，体验数学的应用价值。 二　教学重点和难点 　重点：如何将生活、生产中的实际问题转化为数学问题，并用二次函数求出最大（小）值。 　难点：将实际应用转化为数学问题，用二次函数求最值的建模思想。 三　教学过程的形成过程 　 成功的教案形成的过程各不相同，但有两点是必不可少的：第一，借鉴他人成功的经验。许多老教师、名教师的教学经验丰富，对教材的理解深刻，教学过程的处理得法，重点的突破和难点的化解都有独到的方法，是年轻教师得以学习的。值得借鉴的可以是一份完整的教案，也可以是教学过程某一个环节的教学，如新课的导入，概念的形成过程，重点的突破，难点的化解，解题步骤的归纳等学生不容易掌握的知识点。第二，执教者自身对教材的理解和独特的教学思路，在认真学习数学课程教学大纲和阅读教科书后和教学参考书后，教师明确了数学课程标准的教学理念，了解教科书中该节内容的编写意图，会形成对这一教学内容新的理解，在教学过程的设计中反映出自身的特色和风格，这样编写的教学过程才会有创新。 对被借鉴的教案的实施（课堂实录）和点评 复习提问 　二次函数y=ax2+bx+c有哪些性质？ 　（略） 　教师提出的问题范围太大，学生难以简要回答，只能照背教科书中二次函数的性质，花费了很多时间。这样的问题最好分解成小问题，让学生便于回答，又能复习二次函数的性质，才能达到预期的目的。 　下面大家一起做投影上的练习。 （出示投影） 已知二次函数y=x2-3x+2，填空： (1)图象的对称轴是　　　　，顶点坐标是　　　。[直线x=, (,)] (2)开口方向是　　　　。（向上） （3）当x　　　时，y随x的增大而减小；当x　　　时，y随x增大而增大；当x　 时，函数有最　　　值，是　　　。（，，，小，） （4）当x　　时，y0，若y0，则x的取值范围是 .(2或1,1x2) 　复习练习应起到承上起下的作用，要紧扣本节课的教学要求，一些内容联系不大的问题[如练习（4）]，该省略就省略。 2、新课教学 　这一节课我们来学习二次函数性质的应用。 （板书：二次函数的性质应用举例） 先看例1（呈现投影） 用长6m的铝合金条制成如图1的矩形窗框，问宽和高各是多少时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 　大家考虑一下，要求窗户的最大透光面积，应先解决什么问题？ 　先应写出面积关于窗宽的二次函数解析式。 　窗户面积关于窗宽的二次函数的解析式怎么求呢？　　　　　　　　　　　　 图1 　设窗户宽为xm，则窗户高为m，窗户的透光面积y与x的关系是y=x。 　这里自变量x的取值范围是什么？根据什么来定的？ 　根据窗户的宽和高都必须大于零，得 　6-3x0 解得：0＜x2 x0 　这样求窗户的最大透光面积，就转化为求什么？ 　求函数y=x=的最大值。 　怎样求？ 　当x=＝1时，y的最大值是。 　对，应注意x 的取值是否在自变量的取值范围内。（教师板书解题过程） 　（1）这种问答式的讲课方式，表面上看教师提出的问题学生都对答如流，没有任何障碍，但这样的问答结果，学生有没有真正掌握了问题所在，学生的思维是否被激起？ （2）新课的引入缺乏新意，照搬照抄会让学生成为解题机器。教学中应创设情境，让学生在实践中提出问题，解决问题，增加师生互动，生生互动，激发学生学习的兴趣，让学生主动地学习。 　通过例1的讲解可知，用二次函数的性质解决生活和生产中的实际问题时，一般步骤是： ⑴　列出二次函数的解析式，列解析式时要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。 ⑵　在自变量的取值范围内，运用公式或通过配方法，求出二次函数的最大值或最小值。 　数学课堂教育应充分发挥学生的主体作用，学生能做的尽量让学生去做，教师在必要的时候加以点拨，像这种归纳最好由学生去完成，教师对不完整之外进行补充，让学生体验一次成功的感觉。 3、课堂练习 　　下面做书本的练习。 如图3，周长20m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？ 图3 把60表示成两个正数的和，使这两个数的乘积