向量在物理中的应用举例-1.pptVIP

2.5.2 向量在物理中的应用 一、向量与物理学的联系 向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向量研究物理问题的相关知识！ 1. 向量既是有大小又有方向的量，物理学中，力、速度、加速度、位移等都是向量！ 2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减法，运动的叠加也用到向量的合成！ 3. 功的定义即是F与所产生位移S的数量积 例题 例1：同一平面内，互成 的三个大小相等的共点力的合力为零。 B O 120o a b c D C A 证：如图，用a，b，c表示这3个共点力，且a，b，c互成120°，模相等 按照向量的加法运算法则，有： a +b +c = a +（b +c）=a +OD 又由三角形的知识知：三角形OBD为等边三角形，故 a与OD共线且模相等 例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？ 分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下： F2 θ F1 F G 用向量F1，F2，表示两个提力，它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图所示，只要分清F，G和θ三者的关系，就得到了问题得数学解释！ θ F1 F G F2 cos 2 θ 探究： （1）θ为何值时， 最小，最小值是多少？ F1 （2） 能等于 吗？为什么？ F1 G F1 解：不妨设 = ，由向量的 平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道： = （*） 通过上面的式子，有：当θ由0o到180o逐渐变大时， 由0o到90o逐渐变大， 的值由大逐渐变小，因此 ： 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！ F2 F1 G cos 2 θ 2 θ cos 2 θ 2 F1 答：在（*）式中，当θ =0o时， 最大， 最小且等于 cos 2 θ F1 G 2 答：在（*）中，当 = 即θ=120o时， = cos 2 θ 1 2 F1 G F2 小结： （1）为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！ （2）由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法则解决问题！ （3）用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。 例4：如图，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 =10km/h，水流的速度 = 2km/h。 问:（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？ （2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？ v1 v2 分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的方向时，小船的航程最小。 （2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。 500m A 把物理问题转化为数学模型为： 解（1） = = 所以 t = = 60 答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。 v - v1 2 v2 2 96 d v 0.5 96 ~ ~ 3.1（min） （2） t = = 60 = 3 （min） 答：行驶的时间最短时，所用的时间是3min d v1 0.5 10 （1） A