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实验五　常微分方程初值问题数值解 一、基本概念与结论 二、Euler折线法 三、改进的Euler方法 四、Runge-Kutta法 练习题 * 实验目的：了解常微分方程初值问题数值解的概念，掌握解常微分方程问题的Euler折线法、改进的Euler法、 Euler予估-校正法和Runge-Kutta法；解常微分方程初值问题的算法构造和计算。能用Mathematica软件编程实现解常微分方程初值问题的Euler折线法、 Euler予估-校正法和经典的Runge-Kutta法。学习用计算机求常微分方程初值问题数值解的一些科学计算方法和简单的编程技术。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1．常微分初值问题 常微分方程特解问题称为初值问题，通常其形式为 2．常微分初值问题数值解 　　常微分方程初值问题的解　　在　　上的有限个值　　 的近似值 称为常微分方程初值问题数值解，其中 称为节点， 称为步长。通常步长取等距步长 ,其中 为区间 的分割数。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3．单步法 4．多步法 在计算 时只用到 的方法，其计算公式为 显式单步计算公式 隐式单步计算公式 式中函数　为连续函数，称为增量函数。 在计算 时不仅用到 ,还要用到 的方法，一般 步方法要用到 ,多步法也有显式方法和隐式方法之分。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 5．数值解法的局部截断误差 6．数值解法的阶 为该数值方法的局部截断误差。 　　假设某常微分方程初值问题数值解法在　　　没有误差，即　　　　，称 显式单步法局部截断误差为 某常微分方程初值问题数值解的局部截断误差为 则称该数值解法的阶为 。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 　　Euler折线法是最简单的求常微分方程数值解的法方。此方法精度不高，实用中较少使用。此方法常用来说明求常微分方程数值解所涉及到的一些问题。 1．Euler折线法的构造过程之一 设　　　充分光滑，　　　　　将　　　在点　作泰勒展开，得： 取其关于　的线性部分，有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 注意到　　　　　　　　 ，用 代替 ，并将约等号换为等号，得到Euler公式 Euler折线法是单步显式方法。其截断误差 因此，Euler折线法是一阶方法。 　　由初始条件 ，借助Euler公式就可依次计算出微分方程初值问题的数值解法，此方法称为Euler折线法。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 将微分方程的初值问题 2．Euler折线法的构造过程之二 记 ,从而 ,则有 化成一个代数方程(差分方程),主要步骤是用插商 代替微商 ,于是 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3．Euler折线法的构造过程之三 假设　　　及其对　的偏导数　 在包含点 的某一邻域内 上连续且有界，由牛顿