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最优价格和广告投资资金计算 摘要 商品经济中产品的定价直接关系到收益，并且生产商对推广的投资如广告等对收益也起到巨大作用。本文针对产品生产中定价问题，以及产品推广过程中所耗成本问题，利用题目所给数据，运用拉格朗日乘子法解决了收益最大的实际问题，提出了在所给条件下，使收益最大化的定价和广告投资方案。 对于问题一，此计算机制造厂商在有降低价格可使销量提高和增加广告预算可使销量提高两个条件下，我们利用题中所给信息，列出利润关于定价和广告费用的方程，建立一个有约束最优化模型，并根据题中所给限制，使用拉格朗日乘子法，利用Excel以及Mathematica软件求得约束条件下使总利润达到最高的价格和广告预算。 对于问题二，要讨论决策变量（价格和广告费）关于价格弹性系数（数据50%）的灵敏性。先分析对于决策变量（价格和广告费其中之一）有单独变化时，价格弹性系数对单一决策变量的影响，分别做出图表。由此求得决策变量（价格和广告费）对价格弹性系数的灵敏性。 对于问题三，根据题中所给信息，要讨论决策变量（价格和广告费）关于销售弹性系数（广告商估计的每增加10000美元/月的广告费，可多售200台这一数据）的灵敏性。先分析对于决策变量（价格和广告费其中之一）有单独变化时，销售弹性系数对单一决策变量的影响，分别做出图表。由此求得决策变量（价格和广告费）对销售弹性系数的灵敏性。 对于问题四，在问题一中求得的乘子值具有一个现实意义，即单位定价和单位广告费用对销售量增量的数值关系。这个数值描述的是变量对因变量影响的效率。根据此意义，可以做出适当的建议，来对决策提供帮助。 在获取更多试验数据的情况下，能得到关于价格和广告费用对销售量影响的更精确的结果，同时可以此为基础，建立另一种模型，得到价格和广告费用对销售量增量影响的效率。尤其对于广告费用对销售量的影响，其基于商品的推广效应，不是具象化的量或关系，所以此研究也极有意义。限于问题限制，本文不一一赘述。 关键词：拉格朗日乘子法，利润，广告预算，决策变量，销售弹性系数 一、问题提出 一家个人计算机制造厂商现在每个月售出10000台基本机型的计算机。生产成本为700美元/台。批发价为950美元/台。在上一个季度中，制造厂商在几个座位试验的市场将价格降低了100美元，其结果是销售量提高了50%。 （1）利用有约束最优化模型和拉格朗日乘子法求使利润达到最高的价格和广告预算。 （2）讨论决策变量（价格和广告费）关于价格弹性系数（数据50%）的灵敏性。 （3）讨论据决策变量关于广告商估计的每增加10000美元/月的广告费，可多售200台这一数据的灵敏性。 （4）在（1）中求出的乘子值是多少？它的实际意义是什么？你如何利用这一信息来说服最高管理层提高广告费用的最高限额？ 二、基本假设 1、在批发价950美元/台基础上，价格每降低100美元，销售量提高50%，即设在10000台的基础上增加m台（m=50%×10000）。 2、广告投资在每月投入50000美元基础上，每增加10000美元，销售量在10000台基础上增加n台（n=200）。 三、符号说明 符号 意义 单位 备注 p 每台计算机定价 美元 q 每月广告预算 美元 x 总销量 台/月 P 销售额 美元/月 C 总成本 美元/月 W 利润 美元/月 m 在批发价的基础上，售价每降低100美元，销售量在每月10000台基础上增加m台 台/月 n 广告预算在每月投入50000美元基础上，每增加10000美元，销量在10000台基础上增加n台 台/月 四、问题分析 4.1 问题分析 在实际商品经济中，商品定价和广告预算共同影响商品成本以及销售量，进而影响利润。 本题中，每台计算机定价的多少直接关系单个商品利润的多少，但是定价降低，单个商品利润减少，而月销售量会随之增加，从而总体利润受到影响。所以存在一个最优价格使总体利润最大。 对于广告费用，其投入增大，使成本增加，但是会使销售量增加，从而影响总体利润。因此广告费用同样存在一个最优值，使总体利润最大。 我们列出每台计算机定价p、每月广告预算q两变量在假设条件和约束条件下同月利润的函数关系方程，再利用多变量优化模型中的拉格朗日乘数法求解方法，从而求解出条件下的最优解。 五、模型的建立与求解 5.1 问题一模型建立与求解 5.1.1 问题一模型的建立 在批发价的基础上，每降低100美元，销售量在每月10000台的基础上增加50%（在这里我们选用倍数模型，即销售量的增加量是固定值，为10000台的50%，即5000台），将增加的台数记为m。 在每月投入广告费用50000美元的基础上，每增加10000美元，则销售量在每月10000台的基础上增加n台。 约束条件： 按照假设， 其中，所以 约束条件为 又因为新方案必须在比原有