微分中值定理应用.docVIP

Liaoning Normal University （2011届） 本科生毕业论文(设计) 题 目：微分中值定理的应用研究 学 院：数学学院 专 业：数学与应用数学 班级序号：09数学23号 学 号：20091122060020 学生姓名：李石 指导教师：李劲松 2011年5月 目 录 摘 要 1 Abstract（Key words） 1 前 言 2 1微分中值定理及其证明 3 1.1罗尔定理 3 1.2拉格朗日中值定理 3 1.3柯西中值定理 4 1.4泰勒公式 4 1.5常用微分中值定理及内在联系 5 2 微分中值定理的应用 5 2.1证明方程根的存在性 5 2.2证明不等式 6 2.3讨论函数的单调性,并利用函数的单调性求极值 7 2.4求极限 8 2.5泰勒公式 8 2.6求近似值 9 2.7用来证明函数恒为常数 9 2.8中值点存在性的应用 10 2.8.1一个中值点的情形 10 2.8.2 两个中值点的情形 14 2.8.3 含中值点的积分等式的证明 14 3小结 16 参考文献 17 致 谢 18 微分中值定理的应用研究 摘 要：微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁. 本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解。 关键词：微分中值定理；拉格朗日中值定理；泰勒公式 Abstract（Key words）The mid-value theorems is very important in mathematics analysis, it is the basic theorem communication function of the relationship between its derivative bridge. This paper introduced the case form mid-value theorem in the mathematical analysis, this paper discusses the application of mid-value theorem in the limit, proof inequality; and determine the existence of root from several aspects such as the application to deepen the understanding of differential mid-value theorem. Key Words: Differential mean value theorem in ；Lagrange；Taylor formula 前 言 微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。使用微分中值定理证题，方法多种多样，技巧性强。 1微分中值定理及其证明 为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理.微分学是数学分析的重要组成部分, 微分中值定理作为微分学的核心, 是沟通导数和函数值之间的桥梁.罗尔中值定理、 拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分学的基本定理, 统称为微分学的中值定理, 这四个定理作为微分学的基本定理, 是研究函数形态的有力工具. 1.1罗尔定理 若函数满足如下条件： （ⅰ）在闭区间上连续； （ⅱ）在开区间内可导； （ⅲ）, 则在内至少存在一点使得 罗尔定理的几何意义是说：在每一点可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条切线. 证明：因为在上连续，所以有最大值与表示，现分两种情况来讨论： （1）若,则在上必为常数，从而结论显然成立. （2）若,则因使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点，由条件在开区间内可导，在点处可导，故由费马定理推知 注：定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立. 先讲罗尔定理,并由此推出微分学的两个基本定理—拉格朗日中值定理和柯西中值定理. 1.2拉格朗日中值定理 若函数满足如下条件： （ⅰ）在闭区间上连续； （ⅱ）在开区间内可导； 则在内至少存在一点使得 （1） 显然，特别当时为罗尔定理。 这表明罗尔定理是拉格朗