【北师大版】九年级上册：1.2《矩形的性质与判定》素材.ppt

* 矩形的性质与判定 学 习 目 标 1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定理以及相 关结论； 2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算． 请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？ 边：对边平行且相等； 角：对角相等； 对角线：对角线互相平分． 新 课 导 入 知 识 讲 解 矩形与平行四边形之间的关系 平行四边形 矩形 （3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）． （4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质． ①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直； ②角：四个角是直角（性质1）； ③对角线：相等且互相平分． A B C D O 定理:矩形的四个角都是直角. 已知:如图,四边形ABCD是矩形. 分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证. 证明: ∵ 四边形ABCD是矩形. ∴∠A=90?,四边形ABCD是平行四边形. ∴∠C=∠A=90?, ∠B=180?-∠A=90?, ∠D=180?-∠A=90?. 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90?. ∴四边形ABCD是矩形. D B C A 定理:矩形的两条对角线相等. 已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. 求证: AC=BD. 证明: ∵ 四边形ABCD是矩形. ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°. 分析:根据矩形的性质,可转化 为全等三角形(SAS)来证明. D B C A ∵BC=CB. ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB. 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 练一练：如图，在矩形ABCD中： ①AB∥CD，AB=CD； AD∥BC，AD=BC ②∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90° ③AC = BD= 2AO = 2OC=2OB =2OD 问：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是OB，它与斜边的关系是OB= AC． 问：是不是所有的三角形都有这样的性质? 关键是是不是任何一个三角形都可以放进一个矩形里? 【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长. 解析: ∵四边形ABCD是矩形. ∴BD=2AB=2×2.5=5(cm). ∴AC=BD,且 ∵∠DAB=90°. D B C A O ∵∠AOD=120°. ∴∠ODA=∠OAD= 你认为例1还可以怎么去解？ 例 题 定理:有三个角是直角的四边形是矩形. 已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=90°. 分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证. 证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=90°. ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC,AB∥CD. 求证:四边形ABCD是矩形. ∴四边形ABCD是平行四边形. D B C A ∴四边形ABCD是矩形. 结论： 定理:对角线相等的平行四边形是矩形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD. 求证:平行四边形ABCD是矩形. D B C A 分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可. 证明: ∴AB=CD,AB∥CD. ∵AC=DB,BC=CB. ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=90°. ∴四边形ABCD是矩形. 下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）对角线相等的四边形是矩形；（ ） （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ） （3）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ） （4）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） X X √ √ 跟踪训练 定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 求证:△ABC是直角三角形. 已知:CD是△ABC边AB上的中线,且 E A B C D 分析:要证明△ABC是直角三角形,可以将点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形. 证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE. ∴四边形ACBE是平行四边形. ∵AB=2CD,CE=2CD. ∴ AC=DB. ∴四边形ACBE是矩形. ∵ AD=BD,CD=ED. ∴∠ACB=90°. ∴△ABC是直角三角形. 1．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，