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一、空间曲线的一般方程 二、 空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设 一、空间曲线的一般方程 和 是两个曲面的方程,它们的交线为C(图). 因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程, 所以应满足方程组 该方程组叫做空间曲线C的一般方程. 例1 方程组 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 其准线是xOy面上的圆, 圆心在原点O,半径为1. 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的平面 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线. x y z O 例2 方程组 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O, 半径为a 的上半球面. , 半径为 第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点 二、空间曲线的参数方程 空间曲线C的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C上动点的坐标x，y，z表示为参数t的函数: (2) 当给定 时,就得到C上的一个点 随着t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 例3 如果空间一点M在圆柱面 上以角速度 绕z轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其 中 都是常数), 那么点M构成的图形叫做螺旋线. 试建立 其参数方程. 解 取时间t为参数. 设当 时, 处. 经过时间t, 动点由A运动到 动点位于x轴上的一点 h 记M在xOy面上的投影为 的坐标为 由于动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, 由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升, 所以 因此螺旋线的参数方程为 也可以用其他变量作参数; 例如令 , 则螺旋线的参数 方程可写为 这里 , 而参数为 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 (3) 现在我们来研究由方程组(3)消去变量z后所得的方程 (4) 由于方程(4)是由方程组(3)消去z后所得的结果, 因此当x，y 和z满足方程组(3)时, 前两个数x，y必定满足方程(4), 这说明 曲线C上的所有点都在由方程(4)所表示的曲面上. 由上节知道, 方程(4)表示一个母线平行于z轴的柱面. 所表示的曲线必定包含空间曲线C在xOy面上的投影. 同理, 消去方程组(3)中的变量x或变量y, 再分别和x=0或y=0联 立, 我们就可得到包含曲线C在yOz面或xOz面上的投影的曲线 方程: 或 由上面的讨论可知, 这柱面必定包含曲线C. 以曲线C为准线, 母线平行于z轴(即垂直于xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面 的投影柱面, 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线, 或简称投影. 因此,方程(4)所表示的柱面必定包含投影柱面, 而方程 例4 已知两球面的方程为 (1) 和 (2) 求它们的交线C在xOy面上的投影方程. 解 先求包含交线C而母线平行于z轴的柱面方程. 因此要由 方程(1), (2)消去z, 为此可先从(1)式减去(2)式并化简, 得到 再以z=1-y代入方程(1)或(2)即得所求的柱面方程为 容易看出, 这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程, 于是两球 面的交线在xOy面上的投影方程是 在重积分和曲面积分的计算中, 往往需要确定一个立体或曲 面在坐标面上的投影, 这时要利用投影柱面和投影曲线. 例5 设一个立体由上半球面 和锥面 所围成, 求它在xOy面上的投影. 解 半球面和锥面的交线为 由上列方程组消去z, 得到 x y z o 这是xOy面上的一个圆, 于是所求立体在xOy面上的投影, 就是该圆在xOy面上所围的部分: . 这是一个母线平行于z轴的圆柱面, 容易看出, 这恰好是交线 C关于xOy面的投影柱面, 因此交线C在xOy面上的投影曲线为