函数一致连续性研究.docVIP

学号: 0901114208 函数一致连续性的研究 学院名称： 数学与信息科学学院 专业名称： 数学与应用数学 年级班别： 2009级(1)班 姓 名： 贾 珊 指导教师： 杨 长 森 2013年4月 函数一致连续性的研究 摘 要 函数在区间上的一致连续性是数学分析课程中的重要理论之一,一致连续性刻画了函数在区间上的整体性质.准确理解函数一致连续概念以及掌握证明函数一致连续的方法是数学分析的一个重要内容.本文从以下几个方面对函数的一致连续性进行研究:由函数的连续性引入一致连续性概念,总结了一致连续的3个否定说法;讨论并证明了函数连续与一致连续的关系;用四种方法证明了有界闭区间上一致连续性定理,即Canto定理;概括总结了3种证明函数一致连续的方法;用连续数模描述函数一致连续性并得出函数一致连续的观察法;最后讨论了一致连续的延拓问题. 关键词 一致连续;否定说法; Canto定理;连续数模;延拓问题 前言 函数在区间上的一致连续性问题是数学分析中的典型问题之一,是函数在区间上逐点连续的加强,一致连续性刻画的是函数在区间上的一种整体形态;一致连续性的研究不仅可以加深我们对函数在区间上连续性的认识,而且可以培养我们从微观和宏观相结合的角度观察问题,发现问题,从而提高探究问题的能力;同时,函数的一致连续性是闭区间上连续函数黎曼可积的基础,而且与随后的参数积分,函数项积分等有着密切的关系. 因此准确理解函数一致连续概念以及掌握证明函数一致连续的方法是数学分析的一个重要内容. 一、一致连续性概念引入 为了清楚的引出函数的一致连续概念,我们首先指出,函数f在区间I的连续概念可直接用语言叙述如下:设函数f在区间I上有定义,对则称f在区间I上连续. 在这个定义中,对于给定的是与点有关的,点不同所对应的也可能不同.于是自然来考虑:对于I中的所有点,是否存在一个公共适用的?事实上,对于不同的函数(包括函数的定义域不同)都可能有不同的情况的回答. 例1.1 (1)在区间(0,1)上研究函数; (2)在区间(0,1)上研究函数; (3)对任意一个固定的,在上研究函数. 解:(1)对于, 由于 所以要使,只需取.则,只要,便有. (2)对于，由于 无论取多么小,对于点,虽然满足,但却有, 这就是说,对于,在区间(0,1)上,公共的是不存在的. (3)对于,由于 ， 所以要使,只需取.则对,只要，便有 . 针对如上情况,容易形成如下的概念:设函数f在区间I上有定义,如果使得对,只要便有,则称函数f在区间I上一致连续. 在上述说法中的与实际上处在同等任意的地位,于是就可以得到如下函数一致连续性的定义. 二、一致连续性的定义 2.1 函数一致连续性的定义 定义1 设函数f在区间I上有定义,如果使当, 时,便有,则称函数f在区间I上一致连续. 定义2 设函数f在区间I上有定义,如果极限，则称在区间I上一致连续. 例2.1证明正弦函数在R上一致连续. 证明：,有 , 于是可取时,便有,所以sinx在R上一致连续. 2.2函数一致连续的否定说法 设函数在区间I上有定义,如果存在使得对任何都存在,使得,则称函数在区间I上不一致连续. 例2.2.1 试证函数在区间上不一致连续. 证明:取,不论怎样小,我们取自然数,于是对点及,它们满足 , 但是有.所以f在上不一致连续. 在上述函数一致连续的否定说法中置则经过一些简单的证明,可得不一致连续另一个使用更方便的否定说法:于I上不一致连续使得. 例2.2.2 设,为任一正常数,证明:在内非一致连续. 证明:取,,则n充分大时, 且.但是 , 故f在内非一致连续. 例2.2.3设一元函数f在区间I上有定义,如果,, ,但不收敛于0,则f在I上不一致收敛. 证明:(反证法)假设f在I上一致连续,则,当 时,. 因为，故正整数N，当时，, 从而有.由此就推得,这与题 设不收敛于0相矛盾. 三、一致连续与连续的关系 如果f在I上一致连续,则f在I上连续;反之不真. 证明:因f在I上一致连续，故,有.对时,当然有,这就证明了f在处是连续的,即f在I上连续. 反之不真有反例:,显然是基本初等函数在(0,1)上连续,但是它在（0,1）上不一致连续. [证法1] 可取对无论多么小的正数,不妨设,取与 ,则虽然有,但 , 所以在(0,1)上不一致连续. [证法2](反证)假设在(0,1)上一