D11_6高斯公式例析.ppt

第六节 一、高斯 ( Gauss ) 公式 证明: 设 例1. 用Gauss 公式计算 例2. 利用Gauss 公式计算积分 例3. 例4. 设函数 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 2. 闭曲面积分为零的充要条件 *三、通量与散度 定义: 例5.求向量场 例6. 内容小结 思考与练习 作业 备用题 设 ? 是一光滑闭曲面, 高斯(1777 – 1855) 所围立体 ? 的体 ? 是 ? 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径 试证 证: 设 ? 的单位外法向量为 则 的夹角, 积为V, 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大 恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”. 通量 向量场A(x? y? z)?P(x? y? z)i?Q(x? y? z)j?R(x? y? z)k的散度? 向量场 A 通过曲面?向着指定侧的通量(或流量)? 散度 高斯公式可写成 利用质心公式, 注意 思考: 计算曲面积分 提示: 作取上侧的辅助面 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 用柱坐标 根据高斯公式 1(5). 解 根据高斯公式 例3 解 例4 证 （Green 第二公式） 由Green 第一公式 例4. 计算 其中 ? 是长方体 整个表面的外侧, 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = * 目录 上页 下页 返回 结束 本周机械1413没交作业名单：曹凌，何孟，靳忠超， 刘广港，罗凯心，隋金哲，田金辉，王哲，杨同泰， 朱国栋。 上上周机械1413没交作业名单：何孟，田金辉 上周机械1413没交作业名单：曹凌，何金宸， 何孟，刘广港，罗凯心，隋金哲，田金辉，王哲， 杨同泰。 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度 高斯公式 *通量与散度 第十一章 定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲 ? 上有连续的一阶偏导数 , 下面先证: 函数 P, Q, R 在 面? 所围成, 则有 (Gauss 公式) 高斯 ? 的方向取外侧, 称为XY -型区域 , 则 定理1 所以 若 ? 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 注:Ⅰ. 封闭，外侧 Ⅱ. 函数 一阶连续偏导数 Ⅲ. 若定理中的其他条件不变， 的侧改为内侧，则 在 上具有 在 上存在。 其中? 为柱面 闭域 ? 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 ? 改为内侧, 结果有何变化? 若 ? 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 利用质心公式, 注意 练习: 其中? 为球面 的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = 练习: 其中? 为球面 的外侧. 解: 这里 原式 = 取上侧. 用对称性 其中? 为锥面 解: 作辅助面 取上侧 介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, ?, ?, ? 为法向量的方向角. 所围区域为? , 则 利用质心公式, 注意 先二后一 柱坐标 思考: 计算曲面积分 解: 作取上侧的辅助面 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 所围区域为? , 则 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 在闭区域? 上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 其中? 是整个? 边界面的外侧. 注意: 高斯公式 注意: 高斯公式 证:令 由高斯公式得 移项即得所证公式. 若为非闭曲面时注意添加辅助面的技巧，一般添加 与坐标平面平行的辅助面，且要注意辅助面的侧. 使用高斯公式时的注意事项 1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连