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离散型随机变量的均值教学设计 设计人：孙国林 一、教学．（）（）（）．解析 1）内容解析本节课的教学确定为：》中学习了样本的平均数和方差的基础上，学习离散型随机变量的均值．离散型随机变量可以看成是刻画某一总体的量，它的均值也就是总体的均值，一般它们是未知的，但都是确定的的常数；样本的平均值是随机变量．对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均数越来越接近于总体的平均值．本节重点是用均值解决实际问题，在解决实际问题的过程中使学生理解均值的含义．问题1从平均的角度引入随机变量均值的概念，直观上通过分析1kg混合糖果的组成，学生容易得到合理的价格，即价格是三种糖果价格的加权平均，至此问题已解决．问题2考虑1kg的糖果如何从混合糖果中取出，通过对问题的探讨，就把混合糖的合理价格理解为随机变量的值的加权平均，这个权就是相应的概率，把这个想法抽象出来，就可以得到随机变量均值的概念．问题3有助于理解随机变量均值的含义，它可以看成是这个随机变量的均值，即随着观察这个随机变量次数的增加，所得观测数据的平均值越来越接近于这个随机变量的均值． 根据以上分析，本节课的教学确定为： 二、教学实录 1．问题情境，引入新课 某商场为满足市场需求要将单价分别为18，24，36 的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？ 【问题探究】 设问1：所定价格为元吗？ 【评析】理解权重 设问2：假如我从这种混合糖果中随机选取一颗，记为这颗糖果的单价（）你能写出的分布列吗？ 【评析】启发学生思考加权平均和权数的含义． 设问3：如果你买了1kg这种混合糖果，你要付多少钱？而你买的糖果的实际价值刚好是23元吗？ 【评析】理解样本平均值与随机变量均值的差异． 【概念建构】 （1）均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 … … … … 则称…… 为ξ的均值或数学期望，简称期望． （2）均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （3）平均数、均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令，则有，，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值． 【学以致用】 例1：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望。 师：随机变量ξ 的期望与 ξ 可能取值的算术平均数何时相等? 生：ξ 取不同数值时的概率都相等时，随机变量的期望与相应数值的算术平均数相等。 ?变式：将所得点数的2倍加1作为得分分数，即，求的数学期望. 师：的期望与ξ 的期望有什么样的关系？ 生：有一定的线性关系，的期望等于ξ 的期望的2倍加1. 师：你们能推导出一般形式吗？ 【问题拓展】 均值或期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为 ξ x1 x2 … xn … η … … P p1 p2 … pn … 于是…… ＝……)……) ＝， 例2：根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表： 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：工期延误天数 Y 的均值。 解：由已知条件和概率的加法公式有： 所以Y的分布为： Y 0 2 6 10 p 0.3 0.4 0.2 0.1 故工期延误天数Y的值为3 【评析】 生活中蕴涵数学知识,数学知识又能解决生活中的问题。例题与生活密切联系,让学生感受数学在生活中的广泛应用。 ? 例3. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙，丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记x为该毕业生得到的面试公司个数。若， 求随机变量x的数学期望。 师：上例题能否归纳出求解期望或均值的解题步骤? 生：归纳求离散型随机变量期望的步骤： ①确定离散型随机变量可能的取值。 ②写出分布列，并检查分布列的正确与否。 ③求出期望。 【评析】 本题除了注重知识，还注重引导学生对解题思路和方法的总结，可切实提高学生分析问题、解决问题的能力，并让学生养成良好的学习数学的方法和习惯。 【课堂小结】 师：你有哪些收获？ 生：相互讨论，小组总结：“一个概念，两个注意，三个步骤”。 (1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； (2)样本平均值和随机变量均值的区别与联系； (3)求离散型随机变量的期望的基本步骤： ①理解的意义，写出可能取的全部值； ②求取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出．公式。