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水建学院学习帮扶中心高数资料册 水建学院学习部2015年11月22日第一章 函数与极限考点总结与题型归纳数列极限 数列极限定义：（常用于证明极限存在）设xn为一数列，若存在常数a，对于任意给定的正数ε，（无论ε多么小），总存在正整数N，使得当nN时，不等式|xn-a|ε都成立，那么就称常数a为{xn}的极限，或者说{xn}收敛于a如果不存在这样的常数a，就说数列{xn}没有极限，或者说数列说发散的，习惯上也说limxn不存在。函数极限计算求极限的相关结论两个重要极限利用连续函数，直接代入求极限利用两个重要极限求极限例1【易错点】在运用重要极限法以及其他方法时，混淆x趋近于0和x趋近于无穷大。【错例】：由于x趋近于0时，1/x趋近于无穷大，则原式等于0而不是1.常用等价无穷小利用等价无穷小代换【注意】等价无穷小量的代换，只能代换极限中的因式。 此方法在各种求极限方法中应作为首选。利用夹逼定理求极限例1 例2有界函数与无穷小之积仍为无穷小运用极限四则运算法则加减乘除、乘方运算法则（对于函数和数列都成立，但前提是函数极限存在）【易错点】极限运算法则虽然加减乘除乘方都任意变换，但是，要注意各项的极限都存在是前提，比如，当x→0时，arctan(1/x)的左极限为（—π/2）,右极限为（π/2），所以极限不存在，含有该项的式子不能用极限四则运算法则直接计算。（0/0型）约去致零因子求极限分子分母同除x的最高次方求极限分子分母有理化求极限用对数恒等式求极限泰勒公式求极限抽象函数极限求法含有绝对值的情况用洛必达法则求极限洛必达法则（定理）设函数f(x）和F(x）满足下列条件：⑴x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;⑵在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0;⑶x→a时，lim(f(x)/F(x)）存在或为无穷大则 x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))注：⑴本定理所有条件中，对x→∞的情况，结论依然成立。⑵本定理第一条件中，lim f(x)和lim F(x)的极限皆为∞时，结论依然成立。⑶上述lim f(x)和lim F(x)的构型，可精练归纳为0/0、∞/∞；与此同时，下述构型也可用洛必达法则求极限，只需适当变型推导：0·∞、∞-∞、1的∞次方、∞的0次方、0的0次方。例1.验证极限存在，但不能用洛必达法则求出：【解】，其中，， 使得， 可知极限存在。但是，虽然极限属于“”型未定极限，却不能用洛必达法则求出结果。原因是应用洛必达法则后，分子中出现当时极限不存在的函数：极限不存在。例2.用洛必达法则求下列极限：； ---- 应用洛必达法则 ---- 对未定型商式再应用洛必达法则 ---- 化简复杂分式 ---- 对未定型商式再应用洛必达法则 ---- 代值计算例3.； ---- 应用洛必达法则 ---- 化简繁分式 ---- 对未定型商式再应用洛必达法则 ---- 代入计算例4.；【解】这是“”幂指函数未定型极限，应化为商式极限后应用洛必达法则求解：【解法一】应用对数法，令，则，于是， ---- 成为“”未定型 ---- 应用洛必达法则 ---- 化简繁分式，成为“”未定型 ---- 应用洛必达法则 ---- 代入计算得到 ，亦即，从而有 ，亦即。【解法二】应用指数法，利用公式，得 ---- 应用洛必达法则 ---- 化简繁分式，成为“”未定型 ---- 应用洛必达法则 ---- 代入计算例5.【解法一】这是“”幂指函数未定型极限，可考虑套用公式求解：。【解法二】应用对数法，化为商式极限后应用洛必达法则求解：令，则，于是， ---- 成为“”未定型 ---- 应用洛必达法则 ---- 代入计算得到 ，亦即，于是得，亦即。【解法三】应用指数法，利用公式，得 ---- 成为“”未定型 ---- 应用洛必达法则 ---- 代入计算幂指函数求极限的一般方法1.因为f（x）g（x）=e g（x）1nf（x） ， 所以limf（x）g（x）＝limeg（x）1nf（x） =e limg（x）1nf（x） ，利用上式幂指函数的极限转化成了指数函数极限,可以讨论出幂指函数极限的求法如下:设函数y=f（x）g（x），（f（x）≥0）,若limf（x）=A≥0,limg（x）=B,（1）若A、B是全不为0的常数，则limf（x）g（x）=AB；（2）若A=∞，B≠0， (ⅰ)则A=∞，B＞0，则limf（x）g（x）=∞；(ⅱ)则A=∞，B＜0，则limf（x）g（x）=0；2.有些幂指函数有特定的形式，如（00）型、（1∞）型等等。这类题目有其特定的解题方法。（1）无穷大的形式。对于这种类型的题目。我们将其化为（1+无穷小）无