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2.母线平行于坐标轴的柱面方程 在空间直角坐标系中, 缺一个变量的方程一 般都是柱面方程, 而且缺哪一个变量, 柱面的母线 就平行于相应的坐标轴. 对应于 平面上的二次曲线，在空间直角坐 标系中，可得到相应的母线平行于z轴的二次柱面 如下 ： (1) 圆柱面 , 准线是 面上的圆： 2.母线平行于坐标轴的柱面方程 (2) 椭圆柱面 , 准线是 面上的椭圆： 如图1-11（a) 图1-11 a 2.母线平行于坐标轴的柱面方程 (3)双曲柱面 , 准线是 面上的双 曲线： 如图1-11（b) 图1-11 b 2.母线平行于坐标轴的柱面方程 (4)抛物柱面 , 准线是 面上的 抛物线： 如图1-11（c) 图1-11 c 3.旋转曲面 图1-12 一条平面曲线绕其所在平面上一定直线旋转一 周所形成的曲面称为旋转曲面, 旋转曲线和定直线 分别称为旋转曲面的母线和旋转轴. 现在我们考虑以坐标轴为旋转轴的曲面.设 面上有一已知曲线C, 它的方程为： 。 把这一曲线绕轴旋转一周, 得到一个以z轴为旋转轴的旋转曲面（见图1-12） x y z O C M 111 (0,,) Myz 3.旋转曲面 旋转曲面的方程 设为 为曲线上的任意一点, 那么, 当曲线C绕z轴旋转时, 点 也绕z轴转动到点 此时, 。 且由M到z轴的距离等于M2到z轴的距离, 得 。 将 和 代入 得： （12） 这就是所求的旋转曲面的方程. 3.旋转曲面 旋转曲面的方程 同理有： 曲线 绕z轴旋转, 所得的旋转曲面方程就是将 中的y改写成 , 即 曲线 绕y轴旋转, 所得的旋转曲面方程为 (13) 常用的旋转曲面的方程 抛物线 绕z轴旋转所成的曲面方程是将 中的y换成 , 即 （14） 此曲面称为旋转抛物面（见图1-13） 图1-13 常用的旋转曲面的方程 图1-14 (2) 椭圆 绕z轴旋转所成的曲面方程为 （15） 此曲面称为旋转椭球面（见图1-14） O y z x 常用的旋转曲面的方程 图1-15 (3) 双曲线 绕z轴旋转所成的曲面方程为 （16） 称为单叶旋转双曲面（见图1-15） O y z x M 常用的旋转曲面的方程 图1-16 双曲线 绕z轴旋转所成的曲面方程为 称为双叶旋转双曲面（见图1-16）. （17） 常用的旋转曲面的方程 图1-17 (4)直线 绕y轴旋转所成的曲面方程为 此曲面称为旋转锥面或正圆锥面（见图1-17）.其 半顶角 （18） 即 。 x y O z a · 4.简单二次曲面 二次曲面：在空间直角坐标系中, 含有变量x,y,z的二次方程所表示的曲面称作二次曲面。 要了解曲面的形状可引入平面截痕法. 称与坐标平面平行的平面 （或 ，或 ）与曲面 交线称为截痕，对一系列截痕的几何形状加以综合分析, 可以获得空间曲面的形状的信息, 这种方法称为平面截痕法. 下面介绍几个在工程技术中常用的二次曲面。 4.简单二次曲面 (1) 椭球面 由方程 ,（其中a,b,c是正数） （19） 所表示的曲面叫做椭球面. 首先, 方程只含坐标的平方项, 所以图形关于坐标原点和三个坐标面对称. 由方程（19）可知, 即 （接下页） (1) 椭球面 （接上页） 这说明椭球面在平面 所围成的长方体内. 特别地, 当 , 且 时, 方程（19）成为 这是和（15）同