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非线性数值模拟进展评价通过对程林松、姜瑞忠、黄延章、何顺利、姚军等人的相关文章调研发现，目前对于低速非达西模型的描述主要为启动压力梯度和毛管力动态效应两种表述方式。单相启动压力梯度大量的实验表明，关于低渗透性油层中渗流特征和渗流规律的表述可归纳为：具有启动压力梯度的非线性律，如图1所示。其基本渗流特征为：(1) 当压力梯度小于某个值时，流体不流动。这个压力梯度称为最小启动压力梯度(真实启动压力梯度)，以表示.(2) 当压力梯度在比较低的范围时，渗流速度的增加呈下凹型曲线。(3) 当压力梯度比较高时，渗流速度呈直线性增加。(4) 该直线段的延伸与压力梯度轴交于某点而不通过坐标原点. 此点称为平均启动压力梯度 (拟启动压力梯度)，以表示, 为最大启动压力梯度。图1渗流速度与压力梯度的关系目前常用的单相启动压力梯度描述模型主要分为拟启动压力梯度模型、分段模型和连续模型。1.1 拟启动压力梯度模型一些研究人员基于拟启动压力梯度模型，针对拟启动压力梯度的求解方法进行了实验和理论研究，实验流体从单一流体到多种流体，考虑的影响因素也从单一的渗透率变为渗透率、粘度等多种因素的综合作用。李忠兴，程林松[1-3]等人（2004）使用抽真空煤油进行室内驱替实验，依据考虑拟启动压力梯度的达西定律：对两边取常用对数得到：该式中流量为零时驱替压力梯度即为启动压力梯度，通过回归实验数据，得出幂律关系式：最后研究人员绘制了确定低渗透油田启动压力梯度的理论图版，如图2所示。该求解方法仅考虑了渗透率和启动压力梯度的关系。郝斐，程林松[4]等人（2006）使用模拟油、地层水、注入水和蒸馏水进行物理模拟，实验结果表明：双对数坐标中启动压力梯度与渗透率呈线性关系且斜率为-1(图3所示)，这与理论研究相符合：验证了压力梯度与渗透率的幂函数关系，并且研究了不同粘度对启动压力梯度的影响，结果表明粘度越大，启动压力梯度越大。许建红，程林松[5-6]等人（2007）使用抽真空煤油进行驱替实验，拟合得到驱动压力梯度与渗流速度的关系式：再与考虑拟启动压力梯度的达西定律进行联立求解，可以得到下式：该求解方法不仅考虑了渗透率与启动压力梯度的关系，还考虑了流体粘度、驱动压力梯度对启动压力梯度的影响。图2确定低渗透地层启动压力梯度大小理论图版图3不同流体启动压力梯度与渗透率的关系也有一些研究人员讨论了考虑拟启动压力梯度的数学模型，并进行了数值模拟或者寻找简化方法求得解析解。韩洪宝，程林松[1-3,6-9]等人（2004）引入了边界层理论[5]，将油相粘度用表观粘度来代替：同时考虑了拟启动压力梯度（如图4点C），将结果应用到黑油模型中，得到了修正后的三维三相黑油模型：图4典型的非达西渗流关系曲线李莉，董平川等人（2006）基于拟启动压力梯度模型，建立了三维油水两相非达西渗流数学模型，利用差分法得到数值模型，并设计了正方形注采单元进行数值模拟，通过改变注采井距，的饿到了见水时地层压力、压力梯度等参数的空间分布，最后得到了有效驱动注采井距。一些研究人员也以拟启动压力梯度为基础建立了低渗透油藏非达西渗流模型，使用不同的方法探索模型的精确解。郝斐，程林松[10-12]等人（2006）建立了考虑拟启动压力梯度低渗透油藏不稳定渗流模型，并在内边界条件中考虑了动边界：利用油藏压力近似表达式：求得近似解和半解析解，分析了启动压力梯度对地层能量传播和流体运移的影响。两种求解结果有较好的一致性，解决了数值解法计算量大的弊端。李松泉，程林松[13]等人（2008）在前人研究的基础上，建立了考虑拟启动压力梯度和介质变形的稳定、不稳定渗流数学模型，利用近似求解方法，给出了定产、变产和定压条件下的解。同时也低渗透油藏产能递减规律、井距确定和含水率变化进行了分析。含有动边界条件的低渗透油藏非达西不稳定渗流数学模型具有较强的非线性，难以求出精确解析解。刘文超，姚军[14-17]等人（2013）建立了能反映动边界移动规律的低渗透油藏不稳定非达西渗流数学模型，模型中不含动边界条件，经过无因次化，模型如下：通过采用Douglas-Jones预估校正有限差分法，求得了该模型瞬时压力的精确数值解。计算结果表明井底瞬时压力的双对数曲线存在拐点，拐点前的曲线反映动边界到达定压边界前的状态，拐点后的曲线反映动边界到达定压边界后的状态，如图5所示。图5瞬时井底压力的双对数曲线上述关于拟启动压力梯度问题的探讨存在一定的局限性：井-网格方程未考虑拟启动压力梯度或因处理太简单而不合理，流体在网格、网格之间的流动与井、网格之间的流动会产生矛盾，前者可使用模型直接离散化实现，后者需要对井附近的流动进行解析研究，建立井-网格方程，从而修正了内边界条件。赵国忠[18,19]（2006）建立了考虑拟启动压力梯度的三维三相渗流数值模型，通过等效半径（如图6所