平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计).doc

平面向量数量积的物理背景及其含义() 海口一职中 林召高 一、分析： 学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而数量积的概念本节课教学的难点。 、： ：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题：：、： 、、：教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 ? ? ? ? 创设 情景， 引出 新课 用问题方式引导学生用类比的方法学习新的向量运算。 导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义。 若一个物体在力的作用下产生的位移为，那么力所做的功，其中是和的夹角。 功是力在位移方向上的分量与位移大小的乘积，F和S在物理中叫矢量，W叫标量，在数学中，我们把F和S叫做向量，W其实就是一个数量。 从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果？从而得出平面向量的“数量积”的概念。 生：向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果是向量。? 明白新旧知识的联系性。 以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 师生 探究, 构建 新知 已知两个非零向量与，把数量叫做与的数量积（或内积），记作：，即（其中是与的夹角）。 定义说明：①规定：零向量与任何向量的数量积为零。②记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 数量积运算结果的符号取决于与的夹角（）的大小仿照物理问题建构“数学模型”。引入“向量数量积”的概念 ?线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。 ?? ? 学生讨论，并完成下表： θ的范围 ·的符号 00≤θ900 ? θ=900 ? 900θ≤1800 ? 认识向量的数量积的实际背景。使学生在形式上认识数量积的定义。　　 引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义。　 向量投影的概念：我们把叫做向量在方向上（在方向上）的投影。 数量积的几何意义：数量积·等于的长度与在的方向上的投影的乘积。 ①、 ②、 ③、 ④、 数量积的几何意义是什么？数量积·等于的长度与在的方向上的投影的乘积。 ? ? ? ? 学生，师根据学生解答情况点评： ①；②0； ③－；④－。 这里将数量积的几何意义提前，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识。 ? ? 通过，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；同时也为数量积的性质埋下伏笔。 数量积的性质： 设和都是非零向量，则 1、⊥·=0 ? ? 2、当与同向时，；当与反向时， ?特别地，或 ?3、 练习：判断下列说法是否正确 尝试中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？ 得到数量积的性质1、2 ? 比较的大小，你有什么结论？ 得到数量积的性质3 ? 学生，师根据学生解答情况点评： ；； ；。（反例：当时，有。但不能得到）。结合实数，有进行类比、辩析。将的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。 通过尝试练习，巩固对数量积的性质。 回顾实数运算中有关乘法的运算律。类比数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，需要研究。 已知向量、、和实数，则 ? ? 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？ 答:①交换律：ab=ba ?②结合律：(ab)c=a(bc) ③分配律：(a+b)c=ac+bc 猜想：①·= · ②（·）= (·) ③ ④ 分析猜想：①的正确性是显而易见的。 ②的正确性与否？请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？ 答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。 学生活动：证明运算律2③） 在证明时，学生可能只