人教版高中数学必修第二册算术平均数与几何平均数4.docVIP

算术平均数与几何平均数 教学目标 (一)教学知识点 1.重要不等式：若a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号). 2.算术平均数，几何平均数及它们的关系. (二)能力训练要求 1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理. 2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等. (三)德育渗透目标 通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力. ●教学重点 1.重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号). 2.如果a、b是正数，则为a、b的算术平均数，是a、b的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.即定理：如果a、b是正数，那么≥(当且仅当a＝b时取“＝”号). 3.上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当”…时取“＝”号的含义是：当a＝b时取等号，即a＝b＝；仅当a＝b时取等号，即＝a＝b.综合起来，就是a＝b是＝的充要条件. ●教学难点 1.a2＋b2≥2ab和≥成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数. 2.这两个公式还可以变形用来解决有关问题. ab≤，ab≤（）2 ●教学方法 启发式教学法 ●教具准备 投影片两张 第一张：记作 A 1.差值比较法： 依据：a＞ba－b＞0；a＝ba－b＝0；a＜ba－b＜0. 步骤：作差→变形→判断差值符号→得出结论. 用途： ①比较两个实数的大小； ②证明不等式的性质； ③证明不等式和解不等式. 第二张：记作 B 1.不等式的基本性质： (1)反对称性： a＞bb＜a； (2)传递性： a＞b，b＞ca＞c； (3)可加性： a＞ba＋c＞b＋c； (4)可积性： a＞b，c＞0ac＞bc， a＞b，c＜0ac＜bc； (5)加法法则： a＞b，c＞da＋c＞b＋d； (6)乘法法则： a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd； (7)乘方法则： a＞b＞0an＞bn（n∈N）； (8)开方法则： a＞b＞0（n∈N） 2.应用：已知a、b为正实数，m、n∈N*且m＞n，求证：am＋bm≥am－nbn＋anbm－n. 教学过程 Ⅰ.课题导入 不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点.我们有必要重新回顾“差值”比较法，不等式的基本性质，以便在今后学习中得到巩固和灵活运用. (一)打出投影片 A，请同学们回答： ［师］“差值”比较法解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问题? 通过师生积极对话，简要作一下概括，打出投影片 A，使学生明确：“差值”比较法的三个重要方面.即①依据是：a＞ba－b＞0；a＝ba－b＝0；a＜ba－b＜0；②一般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式. (二)不等式性质的巩固及应用(投影片 B) 课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出投影片 B，使学生掌握下列不等式的基本性质：(1)反对称性a＞bb＜a；(2)传递性a＞b，b＞ca＞c；（3）可加性a＞ba＋c＞b＋c；(4)可积性a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；(5)加法法则a＞b，c＞da＋c＞b＋d；(6)乘法法则a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd；（７）乘方法则a＞b＞0an＞bn（n∈N）；(8)开方法则a＞b＞0（n∈N). 为进一步更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习： 已知a、b为正实数，m、n∈N*且m＞n，求证： am＋bm≥am－nbn＋anbm－n. ［师］本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性质时，多观察，多思考，考虑问题一定要全面细致.请同学们自己完成本题证明过程. ［生］（am＋bm）－（am－nbn＋anbm－n） ＝（am－am－nbn）＋（bm－anbm－n） ＝am－n（an－bn）＋bm－n（bn－an） ＝（am－n－bm－n）（an－bn） ∵m＞n＞1，a＞0，b＞0 ∴当a＞b＞0时，则am－n＞bm－n，an＞bn ∴（am－n－bm－n）（an－bn）＞0 当a＝b＞0时，则（am－n－bm－n）（an－bn）＝0 当b＞a＞0时，则bm－n＞am－n，bn＞an ∴（am－n－bm－n）（an－bn）＞0 综上所述，当a、b为正实数，m、n∈N*且m＞n时，(am-n-bm-n)(an-bn)≥0 即am＋bm≥am－nbn＋anbm－n. 下