（精）2013届学海导航 新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第7章第44讲 导数的综合应用.pptVIP

3.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长分别是_____________. 1．利用导数解决优化问题，关键在于建立目标函数，并且还要根据实际问题，写出函数的定义域． 2．在求实际问题的最值时，如果只有一个极值点，则此点就是最值点． * 与利润及其成本有关的最值问题 本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力．问题关键在于建立数学模型和目标函数．本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，构造相应的函数关系． 【变式练习1】 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的函数关系为P＝24200－1/5x2，且生产x吨该产品的成本为R＝50000＋200x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)． 因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个极值点x＝200，故它就是最大值点，于是f(x)的最大值为f(200)＝－1/5×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)． 答：每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元． 效率最值问题 【例2】 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．已知AB＝20 km，BC＝10 km.为了处理这三家工厂的污水， 现要在该矩形区域上(含边界)且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO.记铺设管道的总长度为y km. (1)设∠BAO＝θ(rad)，将y表示成θ的函数； (2)请你确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短． 解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数．本题求解的切入点在于根据图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法求出函数的最小值，便可确定点C的位置． 【变式练习2】 如图，用宽为a、长为b的三块木板，做成一个断面为梯形的水槽．问斜角为多大时，水槽的流量最大？最大流量是多少？ 几何模型的最优化问题 【例3】 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖长方体铁盒，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数t(t0)．试问当x取何值时，容积V有最大值？ 利用导数解决生活中的优化问题，关键是要建立恰当的数学模型，把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定．当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值． 1.质量为5 kg的物体运动的速度为v＝(18t－3t2)m/s，在时间t＝2 s时所受外力为________N. 【解析】因为v＝18－6t，所以v|t＝2＝18－6×2＝6.所以，当t＝2时，物体所受外力F为6×5＝30(N)． 30 2.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒．要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为_______. 1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ 【解法1】根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km，则 因为BD＝40，AC＝50－x， 所以BC＝＝， 又设总的水管费用为y元，依题意有： y＝30(5a－x)＋5a(0＜x＜50)， y′＝－3a＋，令y′＝0，解得x＝30， 在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km) 所以供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省． 【解法2】设BCD＝θ，则BC＝，CD＝，(0＜θ＜)， 所以AC＝50－， 设总的水管费用为f(θ)，依题意，有 f(θ)＝3a(50－)＋5a· ＝150a＋40a·， 所以f ′(θ) ＝40a· ＝40a·， 令f ′(θ)＝0，得cosθ＝， 根据问题的实际意义，当cosθ＝时，函数f(θ)取得最小值， 此时sinθ＝，所以tanθ＝， 所以AC＝50－＝20(km)，即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省． 故