人教版高中数学(理科)选修几种常见函数的导数2.docVIP

几种常见函数的导数 ●教学目标 (一)教学知识点 1.公式1 C′=0(C为常数) 2.公式2 (xn)′=nxn－1(n∈Q) 3.公式3 (sinx)′=cosx 4.公式4 (cosx)′=－sinx 5.变化率 (二)能力训练要求 1.掌握四个公式，理解公式的证明过程. 2.学会利用公式，求一些函数的导数. 3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. (三)德育渗透目标 1.培养学生的计算能力. 2.培养学生的应用能力. 3.培养学生自学的能力. ●教学重点 四种常见函数的导数C′=0(C为常数)，(xn)′=nxn－1(x∈Q)，(sinx)′=cosx，(cosx)′=－sinx. ●教学难点 四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式由导数定义导出的. ●教学方法 建构主义式 让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n∈N*的情况. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用. Ⅱ.讲授新课 ［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数. 1.y=C(C是常数)，求y′. ［学生板演］解：y=f(x)=C ∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=C－C=0 =0 y′=C′==0，∴y′=0. 2.y=xn(n∈N*)，求y′. ［学生板演］解：y=f(x)=xn ∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)n－xn =xn+xn－1Δx+xn－2(Δx)2+…+(Δx)n－xn =xn－1Δx+xn－2(Δx)2+…+·(Δx)n =xn－1+xn－2Δx+…+·(Δx)n－1 ∴y′=(xn)′==（xn－1+xn－2Δx+…+ (Δx)n－1)=xn－1=nxn－1 ∴y′=nxn－1 3.y=x－n(n∈N*)，求y′. ［学生板演］ 解：Δy=(x+Δx)－n－x－n= y′= ∴y′=－nx－n－1 ※4.y=sinx，求y′(叫两位同学做) ［学生板演］ ［生甲］解：Δy=sin(x+Δx)－sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx－sinx ∴y′= =－2sinx·1·0+cosx=cosx ∴y′=cosx ［生乙］Δy=sin(x+Δx)－sinx ∴y′= ∴y′=cosx (如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下). ※5.y=cosx，求y′.(也叫两位同学一起做) ［生甲］解：Δy=cos(x+Δx)－cosx=cosxcosΔx－sinxsinΔx－cosx y′= ∴y′=－sinx ［生乙］解： . ∴y′=－sinx. ［师］所以由4、5两道题我们可以比较一下.第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2和第3道题中，只证明了n∈N*的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用. ［板书］ (一)公式1 C′=0(C是常数) 公式2 (xn)′=nxn－1(n∈R) 公式3 (sinx)′=cosx 公式4 (cosx)′=－sinx (二)课本例题 ［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求. (1)(x3)′ (2)()′ (3)()′ ［学生板演］(1)解：(x3)′=3x3－1=3x2 (2)解：()′=(x－2)′=－2x－2－1=－2x－3 (3)解： (还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下). (三)变化率举例 ［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求，知道运动方程s=s(t)，瞬时速度v=s′(t). ［板书］物体按s=s(t)做直线运动，则物体在时刻t0的瞬时速度v0=s′(t0) v0=s′(t0)叫做位移s在时刻t0对时间t的变化率. ［师］我们引入了变化率的概念，函数f(x)在点x0的导数也可以叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？ ［板书］函数y=f(x)在点x0的导数叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率. ［生］例如角速度、电量等. ［师］是分别对哪些量的变化率呢？ ［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率. ［师］下面来看两道例题. ［例1］已知物质所吸收的热量Q=Q(T)(热量Q的单位是J，绝对温度T的单位是K)，求热量对温度的变化率C(即热容量). ［学生分析］由变化率