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用矩阵的三角分解解决线性代数中的问题 　　【摘要】2009年1月我们参与了教育部高教司启动的“用MATLAB和建模实践改造工科线性代数课程”的项目，主要负责制作一套线性代数机考试题，试题要求涉及到线性代数课程的所有主要运算方法，而由计算机随机生成试题。由于试题生成的随机性，使得很多问题变得比较复杂，难以用线性代数的知识解决。文章介绍了利用矩阵的三角分解方法解决线性代数中遇到的一些特殊问题，以及具体应用的实例。 　　【关键词】线性代数课程改造 矩阵三角分解的应用 教学改革 教学方法 机考试题 　　【基金项目】该论文由上海应用技术学院研究生课程建设项目（101YM120008）的资助。 　　【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）09-0144-02 　　2009年1月教育部高教司启动了“利用信息技术工具改造课程”项目，包含理工、财经、艺术共18项，西安电子科技大学等院校的“用MATLAB和建模实践改造工科线性代数课程”项目被列为第一项，西安电子科技大学课题组编写的“线性代数实践及MATLAB入门”及“工程线性代数（MATLAB版）”两本教材，较好的体现了经典理论与现代计算手段相结合，将抽象概念形象化，使一些复杂的计算问题得以实现，激发了学生学习的兴趣，培养了解决问题的能力，提高了教学质量。由教育部数学教指委数学基础课程分指委对项目进行了验收鉴定，对项目和教材作出了高度评价[1]。 　　作为该项目的一部分，我们主要负责制作一套线性代数机考试题，以往的试题建立，或者依赖试题库，或者完全人工设计。由于课程中引入了科学计算软件MATLAB，试题主要考核学生利用计算机对线性代数中各种主要计算方法的解决能力，为了试题的长期使用，需要涉及问题中的数据有大量的变化，希望利用计算机随机生成试题。 　　一、试题建立中遇到的问题 　　在具体建立试题的初期，我们遇到了一些看上去很简单却无从下手的问题。 　　例如求n阶矩阵A的逆矩阵问题，这是线性代数中最常见的问题，现在是我们如何给出矩阵A？如何保证矩阵A是可逆的？n阶矩阵A有n2个元素，而可逆矩阵对这n2个元素没有什么太多的限制。矩阵A可逆只要求A非奇异，即detA≠0。但是，利用行列式定义计算一个n阶行列式大约需要（n2-1）n！次乘法运算，这个计算量是惊人的。反之，用detA≠0这么一个条件去限制矩阵A的n2个元素的取值也是困难的。在线性代数的各类问题中，要求一个矩阵是可逆的是常见问题，比如用Cramer法则求线性方程组的唯一解，也要求方程组系数矩阵是可逆的。在线性空间中，给出两组基之间的过渡矩阵，也要求过渡矩阵是可逆的。 　　再如求一个n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系问题，如何保证n元齐次线性方程组Ax=0一定有基础解系？进一步基础解系中包含几个解向量？这些当然应该在生成线性方程组时得到解决。理论上就是要求矩阵A的秩R（A）=rn，此时方程组的基础解系一定存在，且含有n-r个解向量。但是，如何确定矩阵A的所有元素，使得R（A）=r？构造一个这样的矩阵并不难，但我们希望随机地生成一个这样的矩阵。如何随机生成一个矩阵A，使得R（A）=r，这样的问题在求矩阵的秩、讨论向量组的线性相关性、求向量组的一个极大线性无关向量组等问题中同样需要得到解决。为了解决这样一些问题，我们付出了大量的努力，最终还是得到了比较好的结论。 　　二、矩阵三角分解的推广应用 　　数值分析课程中，线性方程组的三角分解法有下面结论，只要矩阵A的各阶顺序主子式都不等于零，则存在唯一的单位下三角矩阵A，和上三角矩阵U，使得A=LU[2]。但是，矩阵A可逆并不要求矩阵A的各阶顺序主子式都不等于零。虽然如此，矩阵的三角分解给了我们重要的启示，容易得到下面的结论： 　　1.三角形矩阵可逆的充分必要条件是对角线元素都不等于零。 　　2.两个可逆矩阵的乘积一定还是可逆矩阵[3]。 　　这就给出了随机生成可逆矩阵的方法，只要选取矩阵 　　则两个三角形矩阵L和U都是可逆的，再取矩阵 　　在具体应用中，例如生成考试题时，为了使生成的可逆矩阵在求逆矩阵时计算不太复杂，而且不同试题的计算难度相差不大，生成不同矩阵时可以选取相同的阶数n。而取矩阵的元素为绝对值比较小的整数，由于此时有，利用逆矩阵的计算公式可知矩阵A的逆矩阵的所有元素都是整数，便于利用各种方法求矩阵A的逆矩阵，而且答案比较整齐。 　　对矩阵的三角分解进行进一步研究，我们又得到下面的重要结论： 　　工科学生之所以把线性代数课程作为一门基础课程来学，就是因为后续课程需要应用它来快速、准确地描述和解决问题。也是因为矩阵、向量等线性代数知识是大量具体运算的工具，各种工程问题都要应用这些知识。在教学中，让学生